証明する $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$ [複製]

Question

私は証明する必要があります $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$しかし、私は私の知恵の終わりにいます。私はウェブを精査しましたが、逆= 0を証明する例/答えしか見つけることができず、自分でたくさんの方法を試しましたが役に立ちませんでした（拡張用語、すべて間違った無数の異なる派生を持つロピタルの定理）。誰かが私を正しい方向に向けることができますか、私は完全に立ち往生しています...

Answer 1

ご了承ください $\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$。関連するグラフを描くと、次のことがわかります。

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

次に、積分を計算します $\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$、したがって、上記は次のようになります

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

そして今、私たちは分割した後、はさみうちの定理によってあなたの結果を取得します。

Answer 2

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$ など $\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

この上限の制限を評価すると、次のようになります。 $2$ 以来 $\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$。ただし、選択した場合$\epsilon >1$、 分かりますか

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$ など $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

それ以来 $\epsilon>1$ （任意）、あなたはそれを結論付けることができます $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

（下限は簡単に取得できます）したがって、制限は $1$。

Answer 3

使用する $$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$ 我々は持っています $$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

添加。

左側の場合、誘導の最初のステップは明確です。その後、$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$ なぜなら $(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ 同等です $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$。

右側用 $$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 4

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

ロピタルの定理を適用して、

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

再度適用すると、

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

分母は次のように1に近づきます $x\rightarrow \infty$。