集積点の定義に関する混乱
微積分の仕組みの背後にあるより良い直感を得るために、シーケンスと累積ポイントの制限について少し学ぼうとしていましたが、シーケンスとセットの制限、制限ポイント、累積ポイントの定義に混乱しました。
私の最初の質問は、累積点と同じシーケンスの限界であり、私がオンラインで見た限界点と同じであり、そのすべてが非常に曖昧であるということです。私の2番目の混乱は、シーケンスの制限がセットの制限と同じであるということです。そうでない場合、なぜそうではないかについての証拠または直感的な説明がありますか？
これはおそらくここにいるすべての人にとって非常に単純でおそらく些細な概念であることを私は知っていますが、それは私を大いに混乱させました。前もって感謝します
回答
限界点は累積点と同じものであり、その定義は次のとおりです。
点数 $x$ セットの限界点です $A$ すべての近所の場合 $S$ の $x$ が存在します $y \in S$ そのような $y \in A$、 $y \neq x$。
あなたが実際にここで制限を取っているわけではないので、私は「蓄積ポイント」という名前を強く好みます...それは逆です！制限を実行できるようにするには、通常、累積ポイントが必要です。制限のトポロジ定義では、近傍を取得し、そこで関数を計算する必要があるためです。
2番目の質問について：
点数 $x$シーケンスの累積ポイントです $\{x_n\}$ 近所があれば $S$ の $x$ 無限に多くのインデックスがあるようなものです $n$ そのような $x_n \in S$。
それは本質的に上記と同じ定義ですが、あなたは $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$。ただし、特定の後にすべてのインデックスがある場合、ポイントはシーケンスの限界ポイントです。$n$近所にあります。正式に：
点数 $x$ 数列の極限です $\{x_n\}$ 近所があれば $S$ の $x$ 存在するようなものです $N \in \mathbb{N}$ そのような $x_n \in S$ すべてのために $n>N$。
そして、これは単に集積点であるよりも強力です。シーケンスを検討することで違いを確認できます。 $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$。の任意の近所$1$ このシーケンスの無限に多くのポイント、つまりすべてのポイントが含まれています $x_{2n}$ 一定後 $n$。同様に、$-1$ すべてが含まれます $x_{2n+1}$ 一定後 $n$、だから両方 $1$ そして $-1$ のクラスターポイントです $x_n$。ただし、制限はありません（実際、制限が存在する場合、制限は一意です）。
限界と限界点には違いがあります。概念はシーケンスと関数に対して定義されていますが、上記の回答で述べたように、限界点はセットに対して定義されています。シーケンスには限界点がある場合がありますが、制限はありません。たとえば、$\{a_n\}$ と定義されている $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ それ $a_n=1+\frac{1}{n} $ 奇数のnと $a_n=-1+\frac{1}{n} $偶数のために。このシーケンスでは、両方$1$ そして $-1$ は限界点ですが、シーケンスは収束しておらず、限界はありません。