測定後の波動関数の崩壊
研究中に、波動関数を測定すると、波動関数が固有値を持つ固有関数の1つに崩壊することを学びました。
また、同じ波動関数で同じ測定を即座に再度実行すると、波動関数が時間とともに変化していないのと同じ固有値が得られることにも言及されています。測定時に別の固有値に切り替わるように波動関数が進化するのにかかる時間を知りたい（つまり、別の固有値が進化した波動関数で前の固有値よりも増加する確率）。
波動関数が通常進化する時間スケールに興味があります。それはシステムのタイプまたは/および測定のタイプに依存していますか？
回答
質問は州の進化に関係する時間スケールを明確に求めているので、私はコメントを拡大することにしました。
波動関数が通常進化する時間スケールに興味があります。それはシステムのタイプまたは/および測定のタイプに依存していますか？
2（エネルギー）状態システムの最も単純なケースを考えてみましょう。エネルギーを$E_1$ そして $E_2$ と $E_1<E_2$。いくつかの観測量を測定し、その固有状態の2つを次の式で与えます。$$|c_1(t=0)\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}\Big(|E_1\rangle + |E_2\rangle\Big)$$ $$|c_2(t=0)\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}\Big(|E_1\rangle - |E_2\rangle\Big)$$
これで、各状態の時間発展は、時間依存のシュレディンガー方程式によって支配されます。したがって、次のようになります。$$|c_1(t)\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}\Big(e^{-i\omega_1 t}|E_1\rangle + e^{-i\omega_2 t}|E_2\rangle\Big)$$ $$|c_2(t)\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}\Big(e^{-i\omega_1 t}|E_1\rangle - e^{-i\omega_2 t}|E_2\rangle\Big)$$ どこ $\omega_i=E_i/\hbar$。
今、時間を見つける必要がある場合 $t$ ある固有状態が別の固有状態に移行するように、 $|c_1(t)\rangle\to|c_2(t)\rangle$ 状態があります $$\frac{e^{-i\omega_1 t}}{e^{-i\omega_2 t}} = -1$$ 上記の条件が成立する最小の時間は次のとおりです。 $$t=\frac{\pi}{\omega_2-\omega_1}$$
また、同じ波動関数で同じ測定を即座に再度実行すると、波動関数が時間とともに変化していないのと同じ固有値が得られることにも言及されています。
そしてこの部分では、量子ゼノン効果に興味があるかもしれません。
@anna vのコメントにあるように、2回目の測定をすぐに実行することはできません。これは、1回の測定を実行するのと同じです。
位置測定の場合、2回目の測定を行うと波動関数はすでに進化しています。最初の測定の非常に短い時間後に2番目の測定を行う場合、波動関数はすでに位置固有状態の連続セットに進化しています。
ときでさえ$\Delta t$ アプローチ $dt$これが当てはまります。この場合、固有状態のセットも上昇しますが、量はゼロに近づきます。
他のシステムはどうですか？同じ写真。すべての量子力学的状態は、時間とともに同じように進化します。
たとえば、2つの状態の重ね合わせの場合を考えてみましょう。最初の測定を行った後（2つの固有状態のうちの1つになります）、波動関数は即座に2つの固有状態の新しい重ね合わせに発展し始めます。また、最初の測定から2番目の測定を実行するまでの時間によって異なります。
$|\Psi (0)\rangle$ は必ずしもHの固有状態ではありませんが、Hは時間に依存しないため、 $|\psi \rangle$ です
$\displaystyle |{\Psi (t)}\rangle = e^{-iHt/\hbar } |{\Psi (0)}\rangle = \Big(1 + \frac{-iHt}{\hbar } + \frac{1}{2}\left(\frac{-iHt}{\hbar }\right)^2 + \cdots \Big) |{\Psi (0)}\rangle \, .$
したがって、
$\displaystyle \begin{split} \langle {\Psi (0)} | {\Psi (t)} \rangle & = 1 + \frac{-it}{\hbar } \langle {\Psi (0)}H|{\Psi (0)}\rangle + \frac{-t^2}{2\hbar ^2}\langle {\Psi (0)}H^2|{\Psi (0)}\rangle + O(t^3) \\ & = 1 + \frac{-it}{\hbar } \langle H\rangle + \frac{-t^2}{2\hbar ^2}\langle H^2\rangle + O(t^3) \\ & = 1 + \frac{-it}{\hbar } \langle H\rangle + \frac{-t^2}{2\hbar ^2}\Big((\Delta H)^2 + \langle H \rangle ^2\Big) + O(t^3) \end{split}$
ここで期待値 $\langle H \rangle$ そして $\langle H^2 \rangle$ に関して取られます $| \psi (0) \rangle$、そして最後のステップで私はそれを使用しました $(\Delta H)^2=\langle H^2 \rangle−\langle H \rangle^2 $。
したがって、注文するには $t^2$、
$\displaystyle \begin{split} \big | \langle {\Psi (0)}|{\Psi (t)}\rangle \big |^2 & = \Big[1 + \frac{-it}{\hbar } \langle H\rangle + \frac{-t^2}{2\hbar ^2}\Big((\Delta H)^2 + \langle H \rangle ^2\Big)\Big] \\ & \qquad \qquad \Big[1 + \frac{it}{\hbar } \langle H\rangle + \frac{-t^2}{2\hbar ^2}\Big((\Delta H)^2 + \langle H \rangle ^2\Big)\Big] + O(t^3) \\ & = 1 + \frac{-t^2}{\hbar ^2}\Big((\Delta H)^2 + \langle H \rangle ^2\Big) + \frac{t^2}{\hbar ^2}\langle H \rangle ^2 + O(t^3) \\ & = 1 - \frac{t^2}{\hbar ^2}(\Delta H)^2 + O(t^3) \, . \end{split}$
興味深い副次的な点として、tが非常に小さい場合は $\big | \langle {\Psi (0)}|{\Psi (t)}\rangle \big |^2 \approx 1$（tを注文する）。言い換えれば、私たちが$\langle \psi (t) \rangle$ 状態にあります $\langle \psi (0) \rangle$ システムを非常に短い時間だけ進化させた後、私たちは高い確率で実際に次の結果を見つけることを期待しています。 $| \psi (0) \rangle$つまり、システムは事実上まったく進化していません。システムをさらに非常に短い時間進化させた後、再度測定すると、状態が次のようになることが再び期待されます。$| \psi (0) \rangle$。これがいわゆる量子ゼノン効果の源です。量子状態を継続的に測定しても、変化しないか、口語的には、監視されている量子ポットが沸騰することはありません。