そのメトリックの証明-コーシー列=半ノルム-フレシェ空間上のコーシー列？
私は、V。モレッティの著書「スペクトル理論と量子力学」から次のステートメントを証明しようとしています。
シーケンス $\{x_n\}_{n\in N} \subset X$ 距離のコーシーです $d$ 局所凸距離化定理 $X$ それがすべての半ノルムのコーシーである場合に限り $p$ トポロジの生成：すべての $\epsilon > 0$ 有る $N_\epsilon^{(p)} \in \mathbb N$ そのような $p(x_n −x_m ) < \epsilon$ いつでも $n,m > N_\epsilon^{(p)} $。したがって、完全性は、局所凸トポロジーを生成するために使用される距離に実際には依存しません。
どうすればこれを証明できますか？
シーケンスがコーシー列の場合 $d$、それからそれは最終的にいくつかのボールにあります $B_{d,\delta}(x)$ のために $\delta>0.$ どういうわけか、この事実を使用して、最終的に何らかのボールにあることを示す必要があります $B_{p,\epsilon}(y)$ 固定の場合 $p\in P,\epsilon>0.$ 結果はに依存すると確信しています $d$ そして $P$同じトポロジを生成しますが、2つをリンクする方法がわかりません。メトリック開集合を半ノルム開集合にネストすることはいつでも可能であり、その逆も可能ですが、それでも明らかな解決策にはつながりません。
この投稿には、と同じトポロジを生成するメトリックの完全性の証明が含まれています$P$そのようなすべてのメトリックの完全性を保証します。しかし、ここでのステートメントには半ノルムが含まれているため、私が言えることから、それは同等の主張ではありません。
回答
メトリックは平行移動不変であると想定しています。しましょう$(x_n)$ メトリックでコーシーであり、 $\epsilon >0$。場合$p$ トポロジを生成する半ノルムであり、 $\{x: p(x) <\epsilon\}$ オープンオールが含まれています $B_d(0,\delta)$。にとって$n,m$ 十分に大きい $x_n-x_m \in B_d(0,\delta)$ それゆえ $p(x_n-x_m) <\epsilon$。
コンバースは、 $B_d(0,\epsilon)$ タイプのセットが含まれています $\{x:p_i(x) <\epsilon_i, 1\leq i \leq N\}$ いくつかの正の整数の場合 $N$、いくつかの正の数 $\epsilon_i$ いくつかの $p_i$の。