そのセグメントを証明する方法 $IF=HF+GF$

Aug 16 2020

$AE$ そして $CD$ の二等分線は $\triangle ABC$$F$ 線上の任意の点です $DE$。証明してください$GF+HF=IF$

私は気づきました $3$外接四辺形。何か案は。これが写真です

回答

6 JeanMarie Aug 16 2020 at 15:00

三線座標を検討する(https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates)最初の場合 $F$ 三角形の内側にあります $ABC$

$D$ そして $E$、角度二等分線のフィートである、それぞれを持っています。トリリニア座標。$(1,1,0)$ そして $(0,1,1)$。したがって、直線のトリリニア方程式$DE$ は:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

通訳 $(x=FG,y=FH,z=FI)$、 我々が得る:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

これは与えられた関係ではありません!

さて、 $F$ 三角形の内側ではありません $ABC$、その他の場合は次のとおりです。

  • 与えられた図に描かれている場合($F$ "ちょうど" $[DE]$ の側に $E$)、三線座標の1つのみ、 $FG$、符号が変更されます; したがって、(1)は次のようになります。

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

今回は、与えられた関係に相当します!

与えられた図の場合、 $F$ 遠くにある場合、2番目の符号の変更が発生し、符号付き距離になります $FH$、(2)を:に変換します

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

これは3番目の式です。

  • それどころか、 $F$ 線分外です $[D,E]$ しかしの側に $D$、変更する必要があります $FI$ (1)の反対に、関係(3)を返します。

関係(0)についての注意:乗法定数まで処理することによってそれを取得しました; 右側にゼロがある関係を扱うため、これは重要ではありません。