その証明についての質問 $(D(f),\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)})\cong (\operatorname{Spec}A_f,\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f})$
理由を証明/理解しようとしています $(D(f),\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)})\cong (\operatorname{Spec}A_f,\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f})$。この問題は、Vakilの代数幾何学ノートに問題4.3.Bとして現れます。
私はそれ以来それを知っています $D(f)=\{P\in\operatorname{Spec}A\mid f\not\in P\}$、識別できます $D(f)$ そして $\operatorname{Spec}A_f$。だからしましょう$\pi:D(f)\rightarrow \operatorname{Spec}A$ 自然な地図になります。
私は今それを示したいと思います $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f}\rightarrow \pi^*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)}$層の同型です。与えられたヒントは、$\operatorname{Spec}A_f$ すでに区別されているオープンセット $\operatorname{Spec}A$。
考えれば $D(g/f^n)=\{P\in\operatorname{Spec}A_f\mid g/f^n\not\in P\}$、それでは、これをどのように区別されたオープンセットとして考えることができますか $\operatorname{Spec}A$？かどうか尋ねるのは意味がありません$g/f^n$ の素イデアルではありません $A$。の対応する素イデアルは本当に言っています$A$ 含まれていません $g$？
さらに、私はそれを知っています $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f}(D(g/1))$ のローカリゼーションです $A_f$ のローカリゼーションです $A_f$ 外で消えないすべての要素で $V(g/1)$。つまり、のローカリゼーション$A_f$ で $\{a/f^n\in A_f\mid D(g/1)\subset D(g/f^n)\}$。
そして、どのように説明しますか $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)}(D(g))$？
この問題を解決する/同型を確認するにはどうすればよいですか？
回答
あなたの投稿には多くの混乱があります。現状では、提案された束の射は意味がありません。あなたが考える地図は埋め込みであってはなりません$\pi \colon D(f) \to \mathrm{Spec}(A)$、むしろ埋め込み $\mathrm{Spec}(\alpha) \colon \mathrm{Spec}(A_{f}) \to \mathrm{Spec}(A)$ 正規のローカリゼーションマップによって誘導される $\alpha \colon A \to A_{f}$。お気づきのように$\pi := \mathrm{Spec}(\alpha)$ 画像がであるオープン埋め込みです $D(f)$、したがって、それを位相空間の同型と見なすことができます $\mathrm{Spec}(A_{f}) \to D(f)$。
束に移り、束が何であるかを思い出させてください $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}$です。オープンセットの場合$U \subset D(f)$、 $U$ 同様にのオープンセットです $\mathrm{Spec}(A)$、そして定義上、 $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}(U) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(U)$。したがって、鍵となるのは、$\mathrm{Spec}(A)$ に含まれています $D(f)$-これについてはまもなく詳しく説明します。また、地図$\pi$ 束の関連する射が付属しています $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$、グローバルセクションでは $\alpha$そして、区別されたオープンには、（誘導された）ローカリゼーションマップがあります。層の対応する射$\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$ によって誘発されます $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$明白な方法で; グローバルセクションでは、それはアイデンティティマップです$A_{f} \to A_{f}$、以来 $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}(D(f)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(f)) = A_{f}$、および $\pi^{-1}(D(f)) = \mathrm{Spec}(A_{f})$。
残っているのは、理由を理解することだけです $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)} \to \pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}$ 上の滑車の同型です $D(f)$。上のトポロジーに基づいてこれをチェックするだけで十分です。$D(f)$、の著名なオープンによって与えられます $\mathrm{Spec}(A)$ に含まれた $D(f)$。上記の詳細が決まったので、これがアプローチのガイドです。これは私があなたに任せます。
（1）まず、著名なオープンの封じ込めがあることを示します $D(g) \subset D(f)$ 場合に限り $f$ の単位です $A_{g}$。（これはVakilの演習3.5Fです。まだ行っていない場合は、行う価値があります。）
（2）次に、 $\pi^{-1}(D(g)) = D(\alpha(g)) = D(g/1)$ のために $g \in A$。（特別なことは何もありません$\pi$ ここで、明確にするために：リングの射について $u \colon A \to B$ および任意の $g \in A$、1つは $\mathrm{Spec}(u)^{-1}(D(g)) = D(u(g))$。）
（3）最後に、物事をまとめます。しましょう$D(g)$ の際立ったオープンであること $\mathrm{Spec}(A)$ に含まれています $D(f)$、（1）により、 $f$ の単位です $A_{g}$。我々は持っています
$$\pi_{\ast}\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}(D(g)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A_{f})}(D(\pi(g))) = (A_{f})_{g/1}$$
そして
$$\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}|_{D(f)}(D(g)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(g)) = A_{g}$$。
地図 $A_{g} \to (A_{f})_{g/1}$ によって誘発される普遍的な地図です $\alpha \colon A \to A_{f}$。あなたの仕事は、この地図を表示することです$A_{g} \to (A_{f})_{g/1}$私があなたに任せる同型です。（私は地図を取得するためにローカリゼーションの普遍的な特性を使用します$(A_{f})_{g/1} \to A_{g}$。あなたはそれを使用します$f$ で反転可能です $A_{g}$ 地図を取得するには $A_{f} \to A_{g}$ 最初。）