それを理解する $E\subset Y\subset X$、その後 $E$ に関連して開いている可能性があります $Y$ のオープンサブセットでなくても $X$
仮定 $X$距離空間です。次に、明らかに$Y$距離空間でもあります。
という事は承知しています$E$ 距離空間に対して開くことができます $X'$ 他の距離空間のサブセットになることなく $Y'$。つまり、セットが「オープン」であるという事実は相対的であり、セットがサブセットと見なされている距離空間に依存します。例えば:$(0,1)$ のサブセットとして $\mathbb R$ はオープンセットですが、のサブセットとして $\mathbb R^2$閉まっています!なぜなら$\mathbb R^2$、それはベクトルです。
さて、ルーディンさんMathemtical分析のセクション2.29を参照して、
仮定$E\subset Y\subset X$、次に「例2.21(g)は、セットが $Y$ のオープンサブセットでなくても $X$「この例は上記と同じです(つまり $(0,1)$ のサブセットとして見られる $\mathbb R$ そして $\mathbb R^2$)。
明らかに、 $\mathbb R$ の部分空間ではありません $\mathbb R^2$、この例はどのように満足しますか $E\subset Y\subset X$?助けてください。ありがとう。
回答
最初の発言: $(0,1)\times\{0\}$ 閉じていても開いていなくても $\Bbb{R}^2;$ 欠落しているエッジポイント $(0,0)$ そして $(1,0)$それが閉じられるのを防ぎます。これを自分で確認する必要があります。
今、あなたの質問に答えるために、あなたは正しいです。正式には、$\Bbb{R}$ の部分空間ではありません $\Bbb{R}^2.$ ただし、表示する自然な方法がいくつかあります $\Bbb{R}$ の部分空間として $\Bbb{R}^2:$ つまり、 $\Bbb{R}\cong\Bbb{R}\times\{0\}\subseteq\Bbb{R}^2$ そして $\Bbb{R}\cong\{0\}\times\Bbb{R}\subseteq\Bbb{R}^2.$ つまり、実数をのサブセットと見なすことができます。 $\Bbb{R}^2$ 考えることによって $\Bbb{R}$ どちらかとして $x$-軸または $y$-軸!これを行う方法は他にも無限にありますが、これらは2つの「明らかな」候補です。ルーディンはあなたに考えてほしい$\Bbb{R}$ の部分空間として $\Bbb{R}^2$ この例のために、これらの方法の1つで。