それを示す $a,b \in \mathbb{R}^n$、その後 $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$
それを示す $a,b \in \mathbb{R}^n$、その後 $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$
私たちはそれを持っています $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$
そしてそれ $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$
しかし、ここからどうやって続けることができるのかわかりません。私が取る場合$||a||-||b||$ わかった $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$
これはまったく役に立ちません。私はここで何をしますか？
回答
$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$
したがって、 $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$。
同様に私達は持っています $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$
したがって、 $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$
あれは $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$
卑劣なトリック：書く $||a|| = || -a||$、 $||a + b|| = ||-a-b||$、および三角不等式を直接使用します。
@Siong Thye Gohがすでに解決策を実行しているので、1つ言及します。
$\blacksquare~$ 主張：任意のベクトル部分空間 $(X, \| \cdot \|)$ の $~\mathbb{K}^{n}$、以下の不等式を満たしています。 \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}
$\blacksquare~$証明：私たちは持っていることにより、$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} 次に $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$
したがって、私たちはそれを持っています $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$。
不等式を使用する $x, x_0 \in X~$ にとって $(X, \| \cdot \|)$ ノルム線形空間であり、 $X$ の部分空間です $\mathbb{R}^n$、私たちは非常に重要な主張をしています。
$\bullet~$ 主張：地図$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$ある連続言い換えれば、規範 $\| \cdot \|$ある連続。
$\bullet~$ 証明：私たちが持っている連続性の定義から、与えられたものについて$\epsilon > 0$、 が存在します $\delta > 0$ そのような
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} 前の問題から私たちは不等式を持っています \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} 私たちを選びましょう $\epsilon = \delta$。したがって、\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} これは、地図が $\| \cdot \|$で継続しています$x_{0}$。なので$x_{0}$が任意の場合、関数$\| \cdot \|$空間全体で連続している $X$。
これにより、ノルムがの有限次元ベクトル部分空間で連続であるという重要な証拠が得られます。$\mathbb{K}^n$。
質問とは関係ありませんが、スパムの意図はありません:)