それを示す $\angle BOC=\angle AOD$。

Aug 18 2020

しましょう $E$ そして $F$ 凸四角形の反対側の交点である $ABCD$。2つの対角線はで会います$P$。しましょう$O$ から垂線の足になります $P$$EF$。それを示す$\angle BOC=\angle AOD$

図は次のとおりです。

私は定義しました $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $

さて、既知の補題によって、私たちは $(Y,X;P,E)=-1$ そして、アポロニウスの補題によって、 $PO$ 二等分 $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $

同様に、私たちはそれを知っています $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ 二等分 $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$

しかし、この角度の平等は私をどこにも導きません。誰かがいくつかのヒントを与えることができますか?前もって感謝します !

回答

4 Dr.Mathva Aug 18 2020 at 00:13

問題を簡単に言い換えさせてください

三角形 $\triangle ABC$ と3つのチェヴァ線 $AD, BE, CF$ 同意する $P$与えられます。定義する$O:=EF\cap AD$ そしてしましょう $H$ の正射影である $O$$BC$。証明してください$\angle EHA=\angle KHF$

しましょう $L:=AH\cap EF$ そして $K:=HP\cap EF$。最初にそれを証明します$\angle LHO=\angle OHK$、そしてそれ $\angle EHO=\angle OHF$。結果がこれらの観察から得られることに注意してください。

最初の部分については、-よく知られているように-に注意してください。 $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ 以来 $(J,O; K, L)$ 調和的であり、 $\angle OHJ=90^\circ$、実際には、 $\angle LHO=\angle OHK$。他の部分も同様に証明できます。$(J,O;F,E)=-1$