それを示す $f’(0)$ 存在し、1に等しい。
Dec 12 2020
しましょう $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$継続的であること。と仮定する$f’(x)$ すべてのために存在します $x \neq 0$ そして $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$。それを示す$f’(0)$ 存在し、 $f’(0) = 1$
私の試み: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$
私が行った極限操作の交換は正しいとは思いません。誰かがこれを行う方法を手伝ってくれますか?
回答
2 gtoques Dec 12 2020 at 15:15
Martin Rがリンクした投稿は似たようなことを言っていると思いますが、これはMVTの標準アプリケーションです:修正 $h>0$ 検討します $\frac{f(h) - f(0)}{h}$、次に平均値の定理によって点を見つけることができます $a \in (0,h)$ そのような $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$。今取る$h \to 0$。何が起こるか$a$?それを念頭に置いて$a$ に依存します $h$。
また、制限を交換することは、これを可能にする特定の定理/結果にアピールしない限り、良い考えではありません。一般に、「簡単な」制限でさえ変更することはできません。