それを示す $f(x) = x|x|$ 継続的で差別化可能-ソリューションの検証？

Question

私が解決策なしで行った別の演習。

私はこれが正しいことを非常に疑っているので、plsは私を修正します:)

しましょう $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ によって与えられる $f(x):=x|x| .$ それを示す $f$ 継続的で微分可能です $\mathrm{R}$

$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ そう $f(x)$ 継続的です

微分可能：表示 $f^{\prime}(x)$ まったく存在する $x \in \mathbb{R}$ ： $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$

Answer 1

連続性の部分は正しいですが、微分可能性の部分は正しくありません。ご了承ください$f(x)=x^2$ です $x\geqslant0$。これは$f'(x)=2x$ です $x>0$ そしてその正しい導関数は $f$ で $0$ です $0$。同じ議論で、$f'(x)=-2x$ です $x<0$ との左導関数 $f$ で $0$ です $0$。そう、$f$ で区別可能です $\Bbb R\setminus\{0\}$ そして、左と右の導関数が $0$ 両方とも等しい $0$、 $f'(0)=0$。特に、$f$ で微分可能です $0$ あまりにも。

Answer 2

または、

• にとって $x<0$、 $f(x)=-x^2$、微分可能です。

• にとって $x>0$、 $f(x)=x^2$、微分可能です。

• で $x=0$、 $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ 関数が微分可能であることを確認します。

微分可能関数も連続です。

Answer 3

にとって $x\neq 0$、 $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$

の左手と右手の制限について $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ なので $x\to 0$、両方に行きます $0$、 そう $f(x)$ で微分可能です $0$。

注： $g(x)=|x|$、 $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$