それを示す $\{h d \mu: h \in \mathcal{L}^1(\mu)\}$ の閉集合です $M(\mathcal{S})$

Question

しましょう $(X, \mathcal{S}, \mu)$ 測度空間になりましょう $M(\mathcal{S})$ 上のすべての複素測度のベクトル空間である $(X,\mathcal{S})$。全変動ノルム$\Vert \nu \Vert := |\nu|(X) $ 作る $M(\mathcal{S})$ バナッハ空間に。

それを見せたい $$\{h d \mu: h \in \mathcal{L}^1(\mu)\}$$ の閉じた部分空間です $M(\mathcal{S})$。ここに$h d \mu$ 複素測度です $$A \mapsto \int_A h d \mu$$

試行：線形部分空間であることを示すことができましたが、閉じていることを示すのに行き詰まっています。

私は以下を試しました：

しましょう $\nu_{n}:= h_n d \mu$ とのシーケンスである $\Vert\nu_n- \nu \Vert \to 0$ いつ $n \to \infty$。あることを示したい$h \in \mathcal{L}^1(\mu)$ と $\nu = h d \mu$。

しかし、これを構築する方法がわかりません $h$。推測は試してみることでしょう$h:= \lim_n h_n$ またはさらに良い $h:= \liminf _n h_n$なぜなら、制限が存在することを示す必要がないからです。しかし、なぜこの関数が統合可能になるのかわかりません。

いくつかの有用な情報： $$\nu(A) = \lim_n\int_A h_n d \mu$$ すべての測定可能なサブセット $A$。どうすれば構築できますか$h$？

ヒントで十分です！完全な解決策は必要ありません。

Answer 1

場合 $\nu_n =h_n d\mu$ その後、全変動に収束します $\|\nu_n-\nu_m\|=\int |h_n-h_m|d\mu \to 0$。の完全性を使用する$L^{1}(\mu)$ 終わる。