それを示す $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [閉まっている]

Dec 14 2020

誰かが私に示す方法のヒントを教えてもらえますか $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

私は両方の積分を別々に行う方法を知っていますが、この質問はそれらを評価する別の方法につながり、これを最初に示す必要があります。そのため、両方を別々に評価するのではなく、質問が意図するように積分を操作することによって同等性を示したいと思います。

双方で作業してみましたが、トリックが足りない気がします。部分積分を使用すると、分母の能力が向上し、適切なキャンセルは発生しません(無関係な還元式を除く)。素晴らしい代替品も見当たりません。

回答

10 MarkViola Dec 14 2020 at 01:22

置換を強制することによって注意してください $x\mapsto 1/x$、 我々は気づく

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

そして、完了です!

4 marlasca23 Dec 14 2020 at 01:22

基本的にあなたはそれを証明したい

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

の積分を考えてみましょう $(1,\infty)$間隔。変数変換の適用$y = 1/x$ 我々が得る

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

これは明らかに真実です。