それを示す $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

仮定します $(X,\mathcal{A},\mu)$ 測度空間であり、 $f:X\to\mathbb{R}$測定可能です。それを示す

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ のメジャーを定義します $\sigma$-のボレルサブセットの代数 $\mathbb{R}$
2. それを示す $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ すべてのボレル関数に対して $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

ここでパート1を証明することができました。
しかし、パート2で苦労しています。

私はの積分が $g$ 単関数の積分の最高値で定義されます $\phi\leq g$。

だから私は最初に単純な関数の結果を証明しようとしていました：
したがって、$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ 単純な関数である。

そう $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
そしてその後、私は進むための適切な方法を見ることができません。

あなたの助けに感謝

Answer 1

単純な関数の同等性はコメントで証明されています。一般的な非負の関数の場合、以下に示すように進めることができます。

どんな場合でも $g \geq 0$ そこにある非減少列は、$(\alpha_n)$それに点収束する単純な関数の。次に、次のようになります。

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

単調収束定理により、次のようになります。

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$