それを示す $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ 有界で単調であり、その限界を見つける
証明してください $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$有界で単調です。次に、その限界を見つけます。
有界への私の試み：
（誘導を使用）ベースケースについては、 $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$。シーケンスがに制限されていると仮定します$n = k$。次に、\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
私はその言葉に見捨てられた $x_{n + 2}$ 再帰式で、取得せずに上記のステップを生成する代数を見ることができません $x_{n + 2}$ 上界と下界の表現で。
ありがとうございました。
更新：
私はこれを証明に追加しました：
我々は持っています $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ そして $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$。シーケンスがに制限されていると仮定します$k+1$、
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
したがって、数学的帰納法の原理により、シーケンスは制限されます。
これは有効ですか？
回答
それを観察する $x_1 = 0$、 $x_2 = 0$、 $x_3 = 1$、 $x_4 = \frac{4}{3}$。帰納法によって次のことを証明できます$x_n <2$ すべてのために $n$。不等式が真であると仮定します$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$。次に$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$ここで、シーケンスが単調に増加していることを示します。仮定$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ いくつかのために保持します $n\geq 2$。次に$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ したがって、 $x_n$上から有界で増加しているため、収束しています。その限界$x$ 満たす必要があります $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ つまり、私たちは持っている必要があります $x=2$。
いいえ、あなたの議論は無効です。あなたはそれを示します
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
誘導を適用すると、これは
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ 制限はありません。
しかし、あなたは使うことができます
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
有界性については、強い帰納法を使用します。シーケンスが正であることは簡単です。すべての人にそれを示したい$n \in \mathbb{N}$ 我々は持っています $x_{n} < 2$
- k = 1の場合、次のようになります。 $x_{1} = 0 < 2$
- しましょう $n \in \mathbb{N}$ そして、すべてのためにそれを仮定します $k \leq n$ 我々は持っています： $x_{k} < 2$
- 我々は持っています： $x_{n-1} < 2$ そして $x_{n} < 2$
次に： $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
したがって： $x_{n+1} < 2$
単調さについては、すべての人にとってそれを証明するために再び帰納法を使用しましょう $n \in \mathbb{N}$、 $x_{n+1} \geq x_{n}$
- n = 1の場合、それは明らかに $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ 以来 $x_{1} = 0$
- しましょう $n \geq 2$ そして、すべてのためにそれを仮定します $k \leq n$ 我々は持っています： $x_{k+1} \geq x_{k}$
我々は持っています： $x_{n} \geq x_{n-1}$ そして $x_{n+1} \geq x_{n}$
したがって： $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
したがって： $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
シーケンスが増加しているため、単調であると結論付けます。また、境界があるため、シーケンスは収束します。しましょう$L$ 数列の極限になり、 $L$ 方程式の解です $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$、それを与える $L = 2$