それを証明する $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ のリングとして同型ではありません $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$。

Question

どうすればそれを証明できますか $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ そして $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$リングと同型ではありませんか？それらが同型ではないことを示すのは簡単です。$\mathbb{R}$-代数; しかし、任意の環準同型は次の要素を送ることができます$\mathbb{R}^*$他の可逆要素に。通常のプロパティでは、2つのリング（縮小、寸法、正規性など）は区別されません。

Answer 1

$R_1=\Bbb R[x,y]/(x^2,y^2)$ で4次元です $\Bbb R$-基礎 $1$、 $x$、 $y$、 $xy$。

$R_2=\Bbb R[x,y]/(xy,x^2-y^2)$ で4次元です $\Bbb R$-基礎 $1$、 $x$、 $y$、 $x^2$。

どちらもローカルリングです：の最大の理想 $R_1$ です $M_1=(x,y)$ との最大の理想 $R_2$ です $M_2=(x,y)$。準同型$\phi:R_1\to R_2$ 取る必要があります $M_1$ に $M_2$。したがって、$\phi(x)=ax+by+cx^2$ どこ $a$、 $b$、 $c\in\Bbb R$。なので$x^2=0$ に $R_1$ その後 $(ax+by+cx^2)^2=0$ に $R_2$。だが$$(ax+by+cx^2)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(a^2+b^2)x^2$$ に $R_2$ など $a^2+b^2=0$、 あれは $a=b=0$、 など $\phi(x)=cx^2$。同様に$\phi(y)=dy^2$ どこ $d\in \Bbb R$。いくつかの重要な$\Bbb R$-の線形結合 $x$ そして $y$ によってゼロに送信する必要があります $\phi$。したがって、$\phi$ 同型であってはなりません。