それは本当ですか $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [複製]

Aug 20 2020

しましょう $ f $ 次のような関数である $ f'' $ に存在します $ x=0 $

それは本当ですか:

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

これが真実であるためには、 $ f'' $与えられていない連続的でなければなりません。しかし、私は反例を見つけるのに苦労しています。2回微分可能な関数を見つける必要がありますが$ f'' $ 継続的ではありません(状況を理解していると仮定します)。

助けていただければ幸いです。前もって感謝します。

回答

5 egreg Aug 20 2020 at 09:18

テイラー展開を使用できます。 $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ どこ $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$。次に\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}二次導関数の連続性は必要ありません。(一次)導関数が次の近隣に存在する必要があるだけです$0$ で微分可能です $0$

1 BarryCipra Aug 20 2020 at 09:49

以来

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

そして

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

それを示すだけで十分です

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

これは、L'Hopitalの単一のアプリケーションで実行できます。

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(最後のステップはL'Hopitalの別のラウンドではなく、2次導関数の定義です。L'Hopitalがここで必要とする唯一の条件は、1次導関数が次の近傍で定義されていることです。 $0$、のために満たされなければならない $f''(0)$ 存在する。)