それは可能ですか $2^{2A}+2^{2B}$ 平方数ですか？
AとBを2より大きい2つの正の整数とします。 $0$。それは可能ですか$2^{2A}+2^{2B}$ 平方数ですか？
答えがノーだと感じて、この演習に問題がありますが、証明について詳しく説明することはできません。これまで私が思っていたのは、整数があると仮定することでした$C>0$ そのような $2^{2A}+2^{2B}=C^2$。次に$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$前の表現が矛盾するかどうか確かめようとしていたのですが、行き詰まりました。私が見つけたのはそれだけです$C$偶数である必要がありますが、それは私をどこにも連れて行かないようです。助けていただければ幸いです。
前もって感謝します！
回答
一般性を失うことなく、 $A>B$。次に$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ 正方形は意味します $2^{2A-2B}+1$ として正方形です $2^{2B}$は正方形です。しかし、これは不可能です。$2^{2A-2B}$ は正方形です。
Shubhrajit Bhattacharyaの答えは、次のような単純で直接的な証拠を示しています。 $2^{2A}+2^{2B}$正方形にすることはできません。しかし、楽しみのために、OPのアプローチを終了しましょう（最初は行き止まりになっていると思っていました）。
場合 $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$、その後 $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$、つまり $2^A+2^B+C$ そして $2^A+2^B-C$ 両方の力です $2$、そして明らかに異なる力$2$、 いう $2^a$ そして $2^b$ と $a\gt b$ そして $a+b=A+B+1$。しかし、これは意味します
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
ここで、一般性を失うことなく、 $A\ge B$、 我々は持っています
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
今 $a\gt b$ 意味する $2^{a-b}+1$ より大きい奇数です $1$、そこから私たちは持っている必要があります $A\gt B$ （それ以外の場合、左側はの力です $2$、より大きい奇数の倍数ではありません $1$）。これは順番に意味します$b=B+1$ そして $a-b=A-B$、そこから取得します
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
と矛盾して $a+b=A+B+1$。
備考：ここでの矛盾の性質に少し驚いたので、自分の仕事を注意深くチェックして、愚かな算術の間違いがないことを確認する必要がありました。
早くやれよ。
一般性を失うことなく、 $A \le B$ そう
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$。
したがって、それが完全な正方形である場合は、 $(2^{B-A})^2 + 1$ 完璧な正方形であること。
だが $(2^{B-A})^2$は完全な正方形なので、2つの連続した完全な正方形があります。これまでに発生するのは唯一の時間であると自分自身に納得させるのは簡単なはずです$0^2$ そして $1^2$。（補遺としての証明）。
したがって、これが発生する唯一の方法は、 $(2^{B-A})^2 = 0$ そして $(2^{B-A})^2 + 1=1$。
だが $2^{B-A} = 0$ 不可能です。
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補遺：2つの連続した正方形だけが $0$ そして $1$。
証明： $m^2 = n^2 + 1$。どこ$m,n$ 非負の整数です。 $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ そう $n < m \le m+1$。しかし、その間の整数は$n$ （排他的）および $n+1$ （包括的）は $n+1$ そう $m = n+1$。など$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ そう $2n = 0$ そして $n = 0$ そして $m =1$。
と仮定する $2^{2A}+2^{2B}$完璧な正方形です。一般性を失うことなく、仮定する$A \geqslant B$。次に、$A-B=x$、 どこ $x$は非負の整数です。したがって、次のようになります。$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$ここで、LHSが完全な正方形である場合、RHSも完全な正方形である必要があります。その結果$2^{2x}+1$完璧な正方形です。これを$n^2$。次に、次のようになります。$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ 今、私たちは必要です $n-1$ そして $n+1$ 両方の完全な力になるために $2$。これは次の場合にのみ発生します$n=3$。しかし、それでも、$2^{2x}=8$ これは不可能です $x$は整数です。したがって、解決策は存在しません。
私たちは持っているだろう $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$、不可能として $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$。