すべての分離可能な距離空間の明確化には可算基底があります

Question

すべての分離可能な距離空間（たとえばX）が可算基底を持っていることを証明します。（ヒント：Xの可算密サブセットの有理半径と中心を持つすべての近隣を取ります）。

私の質問は：有理半径を取る必要がありますか？つまり、Xは分離可能であるため、可算密集合があります。ベースを作成するために、前述の可算密サブセットを使用し、サブセットからの中心を持つボールを検討できるので、いいえ。ボールの数はまだ数えられます。なぜ有理半径が必要なのかわかりません。これを明確にしてください。

Answer 1

密なサブセットの各ポイントの周りに1つのボールだけをとっても、ベースは得られません。半径を任意にすることを許可した場合、一般に数え切れないほど多くの近隣が存在します。有理半径のボールを取ると、可算ベースが得られます。ゼロ以外の半径の可算集合を使用できます。$\epsilon > 0$、半径がより小さいボールを含める $\epsilon$。たとえば、半径のあるボールを取ることができます。$1/n$ にとって $n = 1, 2, \ldots$。