すべての同相写像はほぼ同相写像の産物ですか？

Question

しましょう $\phi$ 上の同相である $\mathbb{R}^{n+m}$、 $\epsilon>0$、および $K\subseteq \mathbb{R}^n$空でないコンパクトであること。同相写像は必ず存在しますか$\phi_1,\phi_2$ オン $\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$、それぞれ、 $$ \sup_{x \in K}\left\| \phi(x,y) -(\phi_1(x),\phi_2(y)) \right\|<\epsilon? $$

言い換えれば、積空間上のすべての同相写像は、その構成要素上の同相写像の積に近いのでしょうか？

Answer 1

取る $m=n=1$、 $K=[0, 1]$ そして $\phi$ 90度回転します。

そうして $x$-のコーディネート $(\phi_1(x), \phi_2(y))$ 有界 $x\in K$ および任意の $\phi_1, \phi_2$ 任意に大きい点がありますが $y$-座標（任意に大きくなります $x$-申請時に調整する $\phi$）。