「すべての奇妙な瞬間が消える」についての別の質問
Nov 23 2020
[奇数モーメント= 0の非縮退確率変数の例に触発された質問]
仮定します $X$は、すべての奇数の要素が消えるような実際の確率変数です。あれは$\mathbb E[X^{2n+1}]=0$ にとって $n=0,1,2,3\cdots$。それはそれに従いますか$X$ 対称的に分布している $0$?あれは、$X$ そして $-X$ 同じ分布を持っています。
注: $X$有界はここにあります:その証拠$\mathbb{E} X^k = 0$ すべての奇数のために $k$ 意味する $X$ 有界に対して対称 $X$ 特性関数なし
回答
Math1000 Nov 23 2020 at 23:05
しましょう $X$ 密度がある $$ f(x) = \frac1{48}\left(1-\mathsf{sign}(x)\sin\left(|x|^{\frac14}\right)\right) e^{-|x|^{\frac14}},\ x\in\mathbb R. $$ 次に、正の整数ごとに $n$ 我々は持っています $$ \mathbb E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\ \mathsf dx = \frac{(1+(-1)^n)(4(n+1))!}{12}. $$ その直後に $\mathbb E[X^{2n+1}=0]$ すべての非負の整数 $n$。それは明らかですが$f$ 偶関数ではないので $X$ ゼロに関して対称ではありません。