すべての連続実数値関数がで定義されている場合 $K$ 有界であり、その後 $K$ コンパクトです

Question

私は実際の分析セクションから次の質問を解決しようとしています：

1. しましょう $K$ 空でないサブセットである $\mathbb R^n$ どこ $n > 1$。次の説明のうち、正しいものはどれですか。

（I）もし $K$ がコンパクトである場合、すべての連続実数値関数はで定義されます $K$ 有界です。

（II）すべての連続実数値関数がで定義されている場合 $K$ 有界であり、その後 $K$ コンパクトです。

（III） $K$ コンパクトで、 $K$ つながっている。

（I）の証明は標準です。矛盾して（II）を見ようとしています。

これらの線に沿って（II）の証明を組み立てることは可能ですか？

仮定します $K \subseteq \mathbb R^n$コンパクトではありません。次に、開いたカバーがあります$\mathcal C$有限のサブカバーはありません。だが$f: K \to \mathbb R$ is continuous. (...) Contradiction.

Answer 1

A subset of $\mathbb{R^n}$ is compact if and only if it is closed and bounded, this is a standard result. Now, suppose every continuous real valued function defined on $K$ is bounded. In particular, the function $f(x)=||x||$ is bounded on $K$, hence $K$ is a bounded set.

So we only have to prove $K$ is closed. Well, suppose it isn't. Then there is some point $y\in\overline{K}\setminus K$. Define $f:K\to\mathbb{R}$ by $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. This is a continuous function which isn't bounded, a contradiction.

Answer 2

I would just like that to add that if the range was the reals endowed with the bounded metric, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, then the statement is not true for metric spaces even if the $Dom(f)$ satisfied the Heine-Borel property.