すべての連続関数を見つける $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ そのような $f(x)=f(x^2+C)$ すべてのために $x\in\mathbb{R}$

Question

前回この質問を投稿しましたが、問題を適切に、そして適切に理解できるところまで書くことができなかったため、残念ながらそのスレッドは閉じられました。

$4.8.3.$ しましょう $C>0$任意の定数である。すべての連続関数を見つける$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 満足 $f(x)=f(x^2+C),$ すべてのために $x\in\mathbb{R}.$

この質問は、学生の完全なグループによって一生懸命試みられましたが、失敗しました。ここにいるみんなに試してもらいたいです。私の考え：この問題を見た後、私はすべての連続関数を見つけるという有名な問題を思い出しました$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x^2) = f(x)$、それは簡単でした。私は同じように同じ方法で問題を試しましたが、結局失敗しました。

Answer 1

最初にケースを検討します $c \leq 1/4$; この場合は表示します$f$一定でなければなりません。関係$$ f(x) = f(x^2 + c) = f((-x)^2 + c) = f(-x) $$ それを証明する $f$偶関数です。しましょう$r_1 \leq r_2$ のルーツになる $x^2 + c - x$、どちらも本物です。場合$x > r_{2}$、定義する $x_{0} = x$ そして $x_{n+1} = \sqrt{x_{n} - c}$ 正の整数ごとに $x$。帰納法による$n$、 $r_{2} < x_{n+1} < x_{n}$ すべてのために $n$、だからシーケンス $\{x_{n}\}$ 限界になりがち $L$ これはのルートです $x^{2} + c = x$ よりは少なくない $r_{2}$。もちろんこれは$L = r_{2}$。以来$f(x) = f(x_{n})$ すべてのために $n$ そして $x_{n} \to r_{2}$、結論 $f(x) = f(r_{2})$、 そう $f$ は一定です $x \geq r_{2}$。

場合 $r_{1} < x < r_{2}$ そして $x_{n}$ 以前のように定義され、次に誘導によって、 $x_{n} < x_{n+1} < r_{2}$。シーケンスを定義できることに注意してください。$r_{1} > c$; 後者は、多項式が$x^{2} - x + c$ でポジティブです $x = c$ 最小値は $1/2 > c$、したがって、両方の根はより大きい $c$。いずれにせよ、私たちはそれを推測します$f(x)$ も一定です $r_{1} \leq x \leq r_{2}$。

最後に、 $x < r_{1}$。今定義する$x_{0} = x, x_{n+1} = x_{n}^{2} + c$。とすれば$x_{n} < r_{1}$、 我々は持っています $x_{n+1} > x_{n}$。したがって、$x_{n} < r_{1}$ すべてのために $n$、最初の場合と同じ議論によって、私たちは推論します $x_{n} \to r_{1}$ など $f(x) = f(r_{1})$。実際、これは起こりません。最終的に私たちは持っています$x_{n} > r_{1}$、 その場合 $f(x) = f(x_{n}) = f(r_{1})$私たちがすでに示したことによって。私たちはそれを結論付けます$f$定数関数です。（このソリューションの以前のバージョンで不正確な点を見つけてくれたMarshall Buckに感謝します。）

今、仮定します $c > 1/4$。次に、シーケンス$x_n$ によって定義されます $x_0 = 0$ そして $x_{n+1} = x_n^2 + c$厳密に増加しており、限界点はありません。したがって、$f$ オン $[x_0, x_1]$ エンドポイントで等しい値を持つ任意の連続関数として、定義を $[x_n, x_{n+1}]$ に $[x_{n+1}, x_{n+2}]$ 関係によって $f(x) = f(x^2 + c)$、および定義をさらに拡張して $x < 0$ 関係によって $f(x) = f(-x)$、結果の関数には目的のプロパティがあります。さらに、そのプロパティを持つ関数は明らかにこの形式を持っています。

Answer 2

以来 $f(-x)=f((-x)^2+C)=f(x^2+C)=f(x)$、に制限することもできます $\mathbb R^+=[0,\infty)$。

しましょう $T:x\mapsto x^2+C$。の位相的力学$T$ の値に依存します $C$、の固定小数点の数を決定します $T$ に $\mathbb R^+$： $T$ 固定点が0、1、または2つあるかどうかに応じて、 $C>1/4$、 $C=1/4$、または $C<1/4$。

これがその事件の答えのスケッチです $C>1/4$、 いつ $T$に固定小数点はありません$\mathbb R^+$。しましょう$t_0=0$ 定義します $t_n$ によって再帰的に $t_{n+1}=T(t_n)$。ご了承ください$\lim_{n\to\infty}t_n=\infty$。ハーフオープン間隔のシーケンス$I_1=[t_0,t_1),\ldots,I_n=[t_{n-1},t_n),\ldots$ のパーティションを形成します $\mathbb R^+$。しましょう$g:[t_0,t_1]\to\mathbb R$ 次のような連続関数である $g(t_0)=g(t_1)$。さあ、$f(x)=g(x)$ オン $I_1$、 $f(x)=g(T(x))$ オン $I_2$、などなど $f(x)=f(T(x))$ それぞれの $I_n$。