すべての有限群を見つける $G$ st for any $a,b\in G$ どちらか $a$ の力です $b$ または $b$ の力です $a$

Question

すべての有限群を見つける $G$ st for any $a,b\in G$ どちらか $a$ の力です $b$ または $b$ の力です $a$

私はそのようなグループがすべて $Z_{p^n}$ ために $p$プライム、これは正しいですか？私は最初に、最大次数の要素を考慮して、グループが巡回でなければならないことを示しました$\langle a\rangle$ 矛盾を達成する場合 $\langle a\rangle\not= G$。、そしてそれなら $Z_n$ と $n$コンポジットの場合、このプロパティはありません。互いに素な順序の2つの互いに素な巡回サブグループがあるため。

これは正しいです？すべてのグループはそのようなグループですか$Z_{p^n}$？

Answer 1

正解です。まあ、「互いに素なサブグループ」のことは別として。サブグループは「ほとんど互いに素」です。つまり、それらの交差は単位元に縮小されますが、文字通り互いに素になることはできません。

Answer 2

はい、あなたが取るなら $a$ 最大の秩序で、そして矛盾によって、 $b\notin\langle a\rangle$、その後 $a=b^n$ いくつかのための $n>1$、 そう $b$ 注文が大きい $a$。

したがって、 $G$ 循環的です。

今、私たちはその順序を証明することができます $G$ 素数冪でなければなりません。「コンポジット」を除外することはできません（マイナースリップですが、関連性があります）。

場合 $|G|$ 2つの異なる素数で割り切れる $p$ そして $q$、その後 $G$ 順序のサブグループがあります $p$ そして $q$、しかし、これらは些細な交差点を持っているので、グループは指定されたプロパティを持つことができません。

巡回群の位数 $p^n$ （（$p$ 素数）は、述べられた特性を持っています。