数学のパラダイムシフト[クローズ]
物理学では、分野を根本的に変えたいくつかの明確な革命またはパラダイムシフトがありました。一例は、コペルニクス的転回と、地動説から地動説への包括的なシフトです。
数学が公理から機能することを考えると、間違った仮定がフィールドの正典に忍び寄る可能性は低いと私は考えました。さらに、（物理学者としての）数学の教育中に、数学はギリシャ語から今日までかなり継続的に進化し、常に古い知識に加えて新しい知識を追加していると感じました。
したがって、私の質問は、これが間違っていて、数学の歴史の中で以前の結果の特定のパラダイムシフトまたは根本的な再解釈があったのか、それとも知識の継続的な成長であったのかということです。
補遺
数学の哲学的変化を求めているこの質問はすでにありました。しかし、数学の知識の本体が直線的に成長したのか、ある時点で不連続だったのかを理解しようとしているので、これとは異なると思いました。
回答
死者を埋葬する「革命」（いわば）と「パラダイムシフト」（ゲームが進み、古いスタイルで行われた作業は消去されないが、もはや面白くなく、追求することが重要ではないように見える）と区別できると思います。
かつて、19世紀の無限小のない分析のやり直しは、虚偽/矛盾を排除する革命であると考えられていたと思います（そのため、無限小を修復するさまざまな非標準分析（一種の！）が興味深い驚きとして100人来ましたそして何年か後）。集合論の発展は革命であり、以前は虚偽/非一貫性しかあり得ないと考えられていた（「完全な無限大」の）一貫性のある理論を持つことが可能であったことを示しました。
しかし、これらの種類のケースは確かに例外です（とにかく数学では）。パラダイムシフトは、以前に起こったことが間違っていると仮定することを含む必要はありません。むしろ、新しい概念が導入され、新しい問題が提起される可能性があり、新しいアプローチは特に興味深い/やりがいのあるものと見なされるようになります。新しい模範は、エミュレートされるパラダイムと見なされるようになり、問題解決を判断するための基準を設定するものと見なされるようになります。たとえば、前世紀の抽象代数の開発は、この種のパラダイムシフトのパラダイム例のように思われます...！
数学は公理的な分野ではありません。新しい分野が開かれる一つの方法は、一般的に、共通点があり、新しい理論を指し示しているように見える例を明らかにすることです。
相同性を例にとってみましょう。これは、アイレンバーグ＆スティーンロッドによって公理化されました。しかし、人々がベッチ数を発見したり、ポアンカレが相同性を発見したり、ベッチ数がグループとしてよりよく考えられていることをノーザーが指摘したりしていなかったら、公理するものはなかったでしょう。
ヒルベルトは、演繹的思考を分類する幾何学と想像力で多かれ少なかれ同じことを言っています。それは、彼が科学的思考の真の形態として分類する帰納的思考よりも低次の公理的形態から来る思考です。
個人的には、私にとって重要なパラダイムシフトは、圏論的思考の数学への導入であり、それは思考の継続性も示しています。たとえば、三角形は早い段階で発見されました。辺に方向を追加することでベクトル加算の法則があり、辺を湾曲させることで、それらを圏論的な矢印と考えることができます。これも明らかです。これらは非ユークリッドベクトルと考えることができ、任意の2点間に固有の測地線が存在する長さの空間では、有向測地線をそのようなベクトルに持ち上げることができます。