数字49/1; 49/2…49/97がボードに書かれています。

Question

数字 $\frac{49}{1},\frac{49}{2},...,\frac{49}{97}$ボードに書かれています。移動するたびに、ボードから2つの数字を消去します（$a$ そして $b$）そして代わりに私たちは書く： $$2\cdot ab-a-b+1$$ 後 $96$ 残りの数字は1つだけですが、それは何ですか？

しばらくこれと格闘してきました。合計または逆数の合計を数えると便利かもしれないと思いました。または、誘導で行うこともできますが、私は何も思いつきませんでした。よろしくお願いします🙂また、これにタグを付ける方法が本当にわからないので、助けてください

Answer 1

$a*b=2ab-a-b+1=\frac{1}{2}((2a-1)(2b-1)+1)$ すなわち $2(a*b)-1=(2a-1)(2b-1)$。次に、帰納法を使用してそれを証明します$2(a_1*a_2*\ldots*a_n)-1=(2a_1-1)(2a_2-1)\cdots(2a_n-1)$ そのため、用語の順序にも依存しません。 $a_1*a_2*\ldots*a_n$ 最後に、結果は次のとおりです。

$$a_1*a_2*\ldots*a_n=\frac{1}{2}((2a_1-1)(2a_2-1)\cdots(2a_n-1)+1)$$

私たちの場合、計算したい $\frac{1}{2}(\frac{97}{1}\frac{96}{2}\cdots\frac{1}{97}+1)=\frac{1}{2}(\frac{97!}{97!}+1)=1$