答えは

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

証明

元の番号を次のように書くとします。 $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ 次に、問題で説明されている方程式は次のとおりです。 $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ 並べ替えると $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ つまり、 $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ ここで、左側がで割り切れることに注意してください。 $19$ ですから右側もそうしなければなりません $a_0$ 互いに素です $19$、この意味は $10^n - 2$ で割り切れる $19$。したがって、私たちはの最小の力を探しています$10$ これは合同です $2$ モジュロ $19$。

の力を通過する$10$ モジュロ $19$ 与える $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$。
したがって、の最小の力$10$ それは動作します $10^{17}$。これを方程式に代入すると、$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ 明らかに、私たちは選ぶことができません $a_0=1$ 右側の桁数が少なすぎるので、 $a_0=2$ （最小値を達成するために）それから私達が持っていることは安全に見えます $17$-右側の数字と残りの部分を選択できます $a_j$適切に左側に。

これは、最小のものが$N$ 動作する必要があります $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

コンピューターチェック

コンピュータでそれを解決することは価値があるようです $N$ 上記は $105263157894736842$ これを2倍にすると $210526315789473684$ したがって、これは実際に機能します。

数字を右から左にシフト

回答