スキルミオン番号
スキルミオン番号は次のように定義されます。 $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ どこ $n$ トポロジカルインデックスです。 $\mathbf {M}$ は、磁性薄膜、超薄膜、またはバルク膜内の局所磁化の方向の単位ベクトルであり、積分は2次元空間で行われます。
と知られている $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ そして $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$。スキルミオン構成では、面内角度に依存しない垂直磁気変数を設定することにより、磁化の空間依存性を単純化できます（$ \theta \left(r\right)$）および半径に依存しない面内磁気変数（$ \phi \left(\alpha\right)$）。次に、スキルミオン番号は次のようになります。$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$
私の質問は：です $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$カール製品とこの用語の出力は何ですか？それでは、最終的な方程式に到達する方法は？
回答
カールではありません。これは、ベクトル成分でカールを表現することで確認できます。$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ ここに $\partial_x$ に関する偏導関数を示します $x$。数量$\partial_x\mathbf M$ のようなベクトルです $\mathbf M$。コンポーネントがあります$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ 数量の計算 $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ その場合、外積を適用するだけです。 $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$これは気が遠くなるような表現であり、コンポーネントを見てもあまり直感的には理解できないでしょう。あなたがそれについて言うことができるのはそれです$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$ベクトル三重積を形成します。これにより、（平行六面体）がまたがるボリュームが得られます。$\mathbf A,\mathbf B$ そして $\mathbf C$。したがって、統合する量は、$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ そして $\partial_y \mathbf M$。
最後の方程式の積分を計算するには、最後の式にすべてを接続するだけです。 $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$。これは面倒ですが、実行可能である必要があります。
編集計算が面倒にならないように、さらに情報を追加します。偏導関数は連鎖律を使用して展開できます $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$。これらは次のように計算できます $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ 次の注意点 $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ そして $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$。これらの偏微分ベクトルに名前を付けると $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ そして $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ 次に、外積は $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ 最後にあなたはそれを計算することができます $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ そして、すべてのコンポーネントを明示的に計算しなくても、この計算を実行できるはずです。
そして、はい、あなたは要因を追加する必要があります $r$ コメントで述べたように極座標に切り替えるとき。