スコアを割り当てる方法の数
で構成されるテスト $12$ 質問はで採点されます $200$ポイント。いくつの方法ができますか$200$ 各質問に少なくとも価値がなければならない場合は、ポイントが割り当てられます $10$ ポイントですが、 $25$ スコアはの倍数でなければなりません $5$？
繰り返しとの組み合わせの可能性を考えています。 $15$ ポイント（$80/5$）から $12$質問。しかし、私はの最大制限を適用する方法がわかりません$25$。$3$ 各質問に $\frac{25-10}{3}$。
しかし、最初の質問が価値があるかどうかは問題ではないという意味としてステートメントを解釈するので、それは繰り返しとの組み合わせでもないかもしれません $30$ ポイントと2番目の価値があります $10$、これは逆です。この特定の例はユニークな方法だと理解していますね。
回答
各スコアはの倍数でなければならないので $5$、すべてのポイント値をで除算することもできます $5$ と持っている $12$ 合計に値する質問 $40$ ポイント、各質問は少なくとも価値があります $2$ そしてせいぜい $5$ポイント。場合$p_k$ のポイント値です $k$-質問、私たちは解決策の数を探しています
$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$
整数で $p_k$ その条件を満たす $2\le p_k\le 5$ ために $k=1,\ldots,12$。しましょう$x_k=p_k-2$ ために $k=1,\ldots,12$; 次に、ソリューションの数$(1)$ 記載されている制限の対象は、ソリューションの数と同じです。
$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$
非負の整数で $x_k$ その条件を満たす $x_k\le 3$ ために $k=1,\ldots,12$。数の上限がなかったら$x_k$、これは標準的な星条旗の問題であり、$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$そのうちの。残念ながら、これらのソリューションの多くは、1つ以上の数値の上限に違反しています。$x_k$、 そう $\binom{27}{11}$かなり過大評価されています。これを修正するには、包除原理を計算する必要があります。この質問に対する私の答えには、そのような計算が含まれています。あなたの問題の解決を完了するためのモデルとしてそれを使用してみてください。
すべてのスコアはの倍数であるため $5$ それで割ることができ、結果として $40$ 合計ポイントと質問スコア $2$ に $5$ポイント。各質問は少なくともでなければならないので$2$ ポイント、私たちは質問を保持していると考えることができます $24$ 「ベースポイント」、配布する方法がいくつあるかという問題を残します $16$ 「余分なポイント」は $12$ 質問がない質問 $3$ そのうちの。
母関数の問題として、これは $x^{16}$ の係数 $(1+x+x^2+x^3)^{12}$。そして答えは$1501566$。