$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ そして $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Question

シリーズを調べてみましょう $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ そして $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$

---

私の試み：
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ そして $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$。
2つの項は正であるため、シリーズの少なくとも1つは発散している必要があります。
両方のシリーズが発散していることを証明する方法は？

ヒントで与えられるように、 $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Answer 1

ヒント：

両方のシリーズが分岐します。これを示すために、アイデンティティを利用してください

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

と一緒に $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ 収束する $x\ne m\pi$、 $m\in \mathbb{Z}$、ディリクレのテストで保証されているように。