スペクトル分解定理

Question

スペクトル分解定理を見直しています。場合$Y$ は対称行列であり、 $Y$ 次のように分解できます $Y=Q\Lambda Q'$、ここでの列 $Q$ の固有ベクトルは $Y$ そして $\Lambda$ の固有値で構成される対角を持つ対角行列です $Y$。

この定理のある部分から、次のように結論付けることができます。 $Q$直交行列ですか？私はの固有ベクトルが$Y$ は直交しているので、行列は $Q$ 直交していますか？

Answer 1

ノルムが1に等しい固有ベクトルを取る必要があります。 $QQ^{\top}=\large𝟙$。

Answer 2

あなたの表現では、 $Y=Q\Lambda Q'$ との行 $Q$ の固有ベクトルは $Y$。

これで、 $Y=Q'\Lambda Q$ およびの列 $Q$ の固有ベクトルは $Y$。

対称行列では、異なる固有値に対応する固有ベクトルは常に直交していることがわかっています。場合$\bf x$ そして $\bf y$ 異なる固有値に対応する固有ベクトルです $\lambda$ そして $\alpha$ それぞれ、その後 $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ 以来 $\lambda-\alpha\neq 0$。

ここで、のすべての固有ベクトルのセットを作成する各固有空間の正規直交基底を見つけます。 $Y$ 正規直交セット $\mathbb{R}^n$ （異なる固有空間は互いに直交しているため）。