多変数限界の評価 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x}$

Question

質問：制限を評価する$$\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin(xy)}{x}$$

私の最初の考えは、制限は単一の変数によく似ているということです $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$。何に関係なく$y$ です（それが本物である限り） $xy \to 0$。したがって、私は、制限全体が次のように評価されると誤って結論付けています$1$。収束の比率は単一変数の場合と同じではないので、1ではないかもしれません。しかし、それを適切に評価する方法がわかりません。

Answer 1

あなたの考えは正しいですが、確かにそれ以来、私たちはいくつかの修正が必要です $xy\to 0$ 私たちはそれを持っています

$$\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin xy}{x}=\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin xy}{xy}\cdot \frac{xy}{x}=\lim\limits_{(x,y) \to (0,2)} \frac{\sin xy}{xy}\cdot y=1\cdot2=2$$