対称システムの製品強制
強制的な概念の家族を考えると $(P_i)_{i\in I}$ 私たちは製品を取ることができます $P:=\prod_{i\in I}P_i$ フォームのジェネリックフィルターを作成するための強制的な概念として $G=(G_i)_{i\in I}$ それぞれのために $i\in I$ 投影 $G_i$ で強制するときに作成されるジェネリックフィルターに対応します $P_i$。これは製品強制と呼ばれ、複数の異なるタイプの汎用オブジェクトを一度に隣接させることができます。（この主題の詳細については、製品の強制と汎用オブジェクトを参照してください）
ここで私の質問は、製品の強制を対称的な強制と組み合わせることができるかどうか、そしてどのように組み合わせることができるかということです。上記のような強制的な概念のファミリーとグループのファミリーがあると仮定します$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ 及び $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ そのような $\mathcal{G}_i$ のサブグループです $Aut(P_i)$ そして $\mathcal{F}_i$ 上の通常のフィルターです $\mathcal{G}_i$ すべてのために $i\in I$。定義できますか$P$ 上記のように $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ に作用する $P$ コンポーネントごとに $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ 通常のフィルターとして $\mathcal{G}$ ？
たとえば、コーエンの元の対称モデルを考えてみましょう。 $ZF+\neg AC$ ここで彼は可算多くの一般的な実数に隣接し、無限のサブセットの構築に進みます $A\subset \mathbb{R}$可算無限のサブセットなし。次に、上記の構造により、隣接できるようになります。$I$ 多くのそのようなセット $(A_i)_{i\in I}$ すぐに。
このタイプの構造（つまり、対称的な製品の強制）で遭遇する可能性のある問題はありますか？この主題に関する文献はありますか？
回答
はい、これは文献にたくさんあります。「抽象的なフレームワーク」の方法ではほとんどありませんが。これは本質的に強制のごく初期の頃から行われたことであり、その証拠は初期の論文で見つけることができます。
私の作品では
Karagila、Asaf、対称拡張の反復、J。Symb。ログ。84、No。1、123-159（2019）。ZBL1448.03038。
Karagila、Asaf、The Morrisモデル、Proc。午前 数学。Soc。148、No。3、1311-1323（2020）。ZBL07159661。
あなたはより一般的な治療法を見つけることができます。製品は反復の特定のケースであり、最初の論文はサポートが有限であるケースを扱っています。ただし、製品の場合、反復を任意のサポートに一般化する際のいくつかの困難を省くことができ、一部の作業は2番目のペーパーで行われます。
多くの場所で「手作業で」定義された製品を見ることができることに加えて、定義があらゆる種類の対称システムに当てはまることが簡単にわかります（ただし、製品は通常、コーエンスタイルの強制力で使用されます）。これは、主にこのトピックを頻繁に取り上げた私の仕事からの最近の例と、古い例です。
Hayut、Yair; Karagila、Asaf、均一性のスペクトル。、Commentat。数学。大学 キャロル。60、No。2、287-300（2019）。ZBL07144894。
Karagila、Asaf、（\ mathsf {DC} _ {\ kappa}）、Fundamを使用して枢機卿に注文を埋め込みます。数学。226、No。2、143-156（2014）。ZBL1341.03068。
Karagila、A。、フォドアの補題はどこでも失敗する可能性がある、ActaMath。ハング。154、No。1、231-242（2018）。ZBL1413.03012。
モンロ、GP、デデキント有限集合に関する独立性の結果、J。オースト。数学。Soc。、Ser。A 19、35-46（1975）。ZBL0298.02066。
Roguski、Stanisław、ペアワイズの比類のない枢機卿の適切なクラス、口語。数学。58、No。2、163-166（1990）。ZBL0706.03038。
これらすべての間に、可算（または $\kappa$-）supports、Easton supports、そしてあなたは他のものに向かって跳躍しているのを見るでしょう（これは今では他の種類の混合サポートですが実際にはまったく同じです）。
実際、フィルターとグループの製品のサポートの変更について話すことができるので、今ではさらに強力になっています。これは、私たちがもっと多くのことを言うことができることを意味すると思うかもしれませんが、実際には、通常は無関係です。
反復に関する私の論文では、「粘り強さ」と呼ばれる概念について説明しました。私の博士号の終わりに向かって Yair Hayutとの多くの議論の1つで、私たちはその概念の下に実際に何があるのかを理解しようと決心しました。そして、すべての対称システムは粘り強いシステムと同等であることが判明しました。つまり、さまざまなサポート（つまり、強制でEastonを使用しているときのフィルターの有限サポート）で遊ぶことは、通常、使用している最小のサポートとまったく同じです。必ずしも常にではありませんが、通常は。
コーエンモデルに関しては、それは少しトリッキーです。それぞれのジェネリックは本物であり、私たちはそれらだけでなく、すべてのジェネリックのセットも気にします。したがって、これは実際には製品ではなく、各実数を追加し、すべての実数のセットを追加しないことで選択に違反し、その後、順序付けなしでジェネリックのセットを強制的に追加する反復です。これらすべてにより、単一の拡張機能として考えるというアプローチがはるかに簡単になります。