高階共変微分連鎖律

Question

しましょう $(M,g)$リーマン多様体である。しましょう$\nabla_v$ の共変微分である $v$ すべての方向 $v\in T_xM$、および $\nabla^k h$ インクルード $(k,0)$-ローカル座標で誘導的に定義されたテンソル場 $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ スムーズな機能のために $h$。

私の質問は：違いを表現する良い方法はありますか $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$？

混乱を避けるために、私はによって与えられた表現を検討しています $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$これは、フォームに適用されるリーマン曲率テンソルに似ています。私は違いを開発しようとしましたが、なじみのあるものは何も見えません。より一般的に（しかし多分私はあまりにも多くを求めています）、書くための良い方法はありますか$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$

Answer 1

書く $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$、 どこ $c^1_1$ 縮約です、そして

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}

特に、それはすべての人にとって意味します $X, Y$リッチアイデンティティを使用して、

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}

したがって、

$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$

予想通り、曲率の項が出てきます。また、$\nabla u$。一般的に、計算するとき$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ 差別化する必要があります $u$ $k$-回とRicciアイデンティティの使用 $k$-回。いい式はないだろうと思います。