多項式がF上で既約であるとはどういう意味かを説明する

Question

Fを体とし、F [x]をFの係数を持つ1つの不定xの多項式環とします。F[x]の多項式g（x）がF上で既約であるとはどういう意味かを説明します。

私はこのように考えています（それを正しくするために非常に重要です）：

これは、体Fの係数を持つ次数n> = 1の多項式は、次数がn未満のF上の2つの非定数多項式の積として記述できない場合、F上で既約であると言われることを意味します。

それを正しくするのに十分ですか？それとも、それらすべてが素数であることについての行を追加しますか？

Answer 1

少なくとも2つの因子を持つ素数への因数分解があることを述べる必要はありませんが、多項式環と同等です。

一般的なリングでは、要素 $r$ある既約それは次のように書かれている時はいつでも、あれば$r=ab$、ちょうど1つ $a$ そして $b$反転可能です。書き込み$r\mid a$ 存在する場合 $b$ そのような $r=ab$、これを言う別の言い方はそれです $r$ いつでも、既約である $a\mid r$、 $r\mid a$。

これはプライムとは異なります。 $r$あるプライム場合$r$ は可逆のゼロではなく、いつでも $r\mid ab$、 $r\mid a$ または $r\mid b$。

整域（単一性） $R$、すべての素数は既約ですが、すべての既約が素数である必要はありません。すべての素数が既約であることを確認するには、次のように仮定します。$r$ 素数であり、 $r=ab$。以来$r=ab$、 もちろん $r\mid ab$。したがって、$r\mid a$ または $r\mid b$、一般性を失うことなく $r\mid a$。したがって、$a=rs$ いくつかのための $s$、 したがって $$ r=ab=rsb.$$ 以来 $R$ 整域であり、 $r(1-sb)=0$、 $sb=1$。特に、$b$ は可逆であるため、 $r$ 既約です。

すべての既約が素数であるリングは、一意の因数分解ドメイン、またはUFDです。これは、すべての要素が$r\in R$irreduciblesに因数分解を持ち、そして、この因数分解に表示されるirreduciblesは可逆元で並べ替えや乗算に特有のアップです。

フィールド上の（潜在的に多くの変数の）多項式環はUFDの例であるため、多項式環には既約の複数の潜在的な定義があります。