多項式に複素根があるかどうかを判断するアルゴリズム

Question

特定の多項式（すべての実数係数を含む）がすべて実数の根を持っているかどうかを判断する簡単なアルゴリズムはありますか？ルーツが何であるかを知る必要はありません。与えられた多項式に複素根があるかどうかを知るにはどうすればよいですか。

背景：任意の次数の多項式のすべての実根を計算するアルゴリズム（たとえば、ここを参照）があることを認識しています\ begin {equation} \ label {polynomial} a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ cdots + a_n x ^ n、\ end {equation}ここで、$a_0,...,a_n$ すべて実定数です。

Answer 1

コンパニオン行列を使用して、固有値計算を介して根を見つけることができます。

コンパニオンマトリックス

明示的に計算せずに複素数/実数の根の数を見つけるには、スツルムの定理を考慮する必要があることに注意してください（これが唯一の方法です）。

スツルムの定理