多項式を満たす行列 $A^3+A^2+A-3I = 0$

Aug 23 2020

あるとしましょう $n\times n$ 実数の対称行列 $A$。それが方程式を満たす場合

$$A^3+A^2+A-3I = 0,$$

私たちは何について言うことができます $A$?サイズの行列が複数ありますか$n\times n$ このプロパティを保持できるのはどれですか?

私が考えているのは、LHSを因数分解することです。 $(A-I)(A^2+2A+3I) = 0$。ケイリー・ハミルトンの定理により、$(x-1)(x^2+2x+3) = 0$。以来$A$は実数で対称であり、実数の固有値のみを持ちます。次に、用語を考慮する必要はありません$x^2+2x+3$$x-1=0$。そう$A-I=0$、および $A = I$。しかし、私はこれが間違ったアプローチであることを強く疑っています。

手伝ってくれてどうもありがとう!

編集:たくさん答えてくれた皆さんに感謝します。しかし、最小多項式についての知識を必要としない方法はありますか?ありがとうございました!

回答

2 user-492177 Aug 23 2020 at 01:58

行列の消滅多項式 $A$ です

$(x^3+x^2+x-3)$ これは次のように偽造することができます $(x-1)(x^2+2x+3) $

注意 : $ (x^2+2x+3)$ 本当のルーツはありません

したがって、最小多項式は次のいずれかになります

$(x-1), (x^2+2x+3), (x-1)(x^2+2x+3)$

しかしそれ以来 $A$ は対称であるため(直交して)対数であるため、最小多項式は次のような異なる線形因子の積です。 $(x-1)$ 唯一可能な最小多項式として。

そう $A=I$

2 BinyaminR Aug 23 2020 at 01:56

Aはアイデンティティでなければなりません。最小多項式で除算する必要があることはわかっています。$$x^{3}+x^{2}+x-3=\left(x-1\right)\cdot\left(x^{2}+2x+3\right)$$行列は対称であるため、その特性多項式はフィールド上で分割する必要があります。最小多項式はそれを除算する必要があるため、分割する必要もあります。私達はことを知っています$x^{3}+x^{2}+x-3$ そして $\left(x^{2}+2x+3\right)$ Rで分割しないでください。したがって、最小多項式はx-1でなければなりません。