単原子鎖の位相速度
一次元の原子の単原子鎖（同一の質量）を検討する場合 $m$ ＆ バネ定数 $\kappa$）、次の分散が見つかります。 $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$
これは $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-定期的。したがって、より高い波浪者$\mathrm{\pi}/a$ 新しい身体的行動を提供しないでください。
ただし、位相速度を計算すると、次のことがわかります。 $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$これは、位相速度が周期的ではないsincのようになることを意味します。最初のブリウリンゾーンの外側の波数ベクトルは、はるかに低い位相速度を生成します。
これはどのように可能ですか？位相速度について最初のブリウリンゾーンのみを検討する正当な理由はありますか？または、私の計算に他のエラーがありますか？
回答
位相速度は、最初のブリルアンゾーンの外側では意味がありません。位相速度は波の「頂上」が移動する速度ですが、最初のブリルアンゾーンの外側では、波長は原子間の間隔よりも短いため、実際には頂上はありません。ほとんどの「山」は、移動するものがない原子間のギャップで発生するため、山は一種の数学的アーティファクトです。
平衡位置からの原子の変位の連続関数を定義できますが $u\left(x, t\right)$波の場合、それは波が本当に連続しているという意味ではありません。波はで意味のある変位しかありません$x$原子がある位置。ですから、連続媒体の波から来る直感のいくつかは実際には当てはまりません。