足し算と掛け算の公理からの結果の証明を手伝ってください
ウラジーミル・A・ゾーリッヒによる分析1を読んでいるときに、私には理解できないこの1つのステップがあるこの証拠に遭遇しました。結果と証明は次のとおりです。
すべてのための $x\in \mathbb R$ 以下は真実です
$$-x=(-1)\cdot x$$
証明。 $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$。仮定は、数の負の数の一意性に基づいています。
証明の終わり。
支えられていない部分は、私が理解できないことです。その式を作るためにどのような足し算と掛け算の公理が使われましたか?
回答
ご了承ください $1\in\Bbb{R}$ セットの特別な要素であり、 $x\in \Bbb{R}$、 $1\cdot x = x\cdot 1 = x$。次に、すべての人に分配法則を使用します$a,b,c\in\Bbb{R}$、 $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$。したがって、\ begin {align} x +(-1)\ cdot x&= 1 \ cdot x +(-1)\ cdot x \ tag {property of$1$} \\&= [1 +(-1)] \ cdot x \ tag {distributive law} \ end {align}残りの証明は、すべての証明を確立すると次のようになります。$x\in\Bbb{R}$、 $0\cdot x = 0$。
プリンシパルは配布です: $a(b+c) = ab + ac$。
したがって、証明は次のようになります。
$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (乗法的単位元の存在と定義による)
$=(1+(-1))\cdot x$ (配布による)
$=0\cdot x$ (反数の定義による)
$=x\cdot 0$ (掛け算の可換性ですが、なぜ彼がこれをしたのか分かりません)
$= 0$(これは公理ではありませんが、命題は次のことを証明できます$0\cdot x = 0$。あなたはそれをもう証明しましたか?Spivakはそれを公理として使用しますか?)
次に、定義上、すべての人にそれがあります $x$ ユニークな存在があります $-(x)$ そのため $x + (-x) = 0$。
私たちが持っている場合 $a$ そのため $x + a = 0$ それはそれでなければなりません $a=-x$逆数は一意であるため。なので$x + (-1)x =0$ それは違いない $(-1)x = -x$。
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小道具: $x\cdot 0 = 0$。
Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$。(すべての要素$a$を含む $x\cdot 0$、反数があり、 $-a$、 そのため $a + (-a) =0$。)
$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (($0=0+0$ なぜなら $0$ 加法単位元であり、 $a +0 = a$ すべてのために $a$、いつを含む $a$ です $0$。)
$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (分配法則)
$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (結合性)
$x\cdot 0 + 0 = 0$ (加法単位元の定義)
$x\cdot 0 = 0 $ (($a + 0= a$ すべてのために $a$ 加法単位元の定義による。)