「手で」位数2の群の分解不可能な積分表現

Aug 15 2020

この質問は、2010年のMOの質問と重複しています。

の同型クラスの分類に興味があります $n$-巡回群の次元積分表現 $C_2$ 注文の $2$。明らかに、$C_2$は、分解不可能な積分表現の直和です。

次の結果はよく知られています。

定理。グループ$C_2$ 分解不可能な積分表現の正確に3つの同型クラスがあります。

（1）些細なこと;

（2）符号表現。

（3）行列による2次元表現 $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$

この結果は、VictorProtsakの回答に記載されています。ToddLeasonの回答も参照してください。

で彼のコメントビクターProtsakは参照を提供します。彼は次のように書いています。「CurtisandReiner、第11章。これは、素数位数の巡回群の積分表現を分類するセクション74の定理の特殊なケースです。当然、このケースははるかに簡単で、手動で実行できます。」

質問。CurtisとReinerの本を参照せずに、上記の定理を「手作業で」証明するにはどうすればよいでしょうか。

動機：私は今代数で働いています$\mathbb R$-とり。それらはガロア群の積分表現によって分類されます${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$、これは位数のグループです $2$。直既約加群のよく知られた分類を理解するために$\mathbb R$-トリ、私はの分解不可能な積分表現のよく知られた分類を理解する必要があります ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$。

Mathematics StackExchangeでこの一見初歩的な質問をしましたが、回答やコメントが得られなかったので、ここで質問します。

回答

2 LSpice Aug 16 2020 at 20:49

では、実際のトーラスとコンピューティング、Casselmanはあなたの明示的な積分表示を与えられている想定し、素敵な書き込みアップだけで、これらは唯一の難分解トーラスであることを証明していないの観点から、この定理のを持っていますが、$\operatorname C_2$、これらの3つの表現への分解を明示的に見つけて計算します。

実際、あなた（あなたは一般の読者であり、必ずしも@MikhailBorovoiである必要はありません）がBill Casselmanの最近の仕事に精通していない場合は、彼のページをチェックする価値があります。 http://www.math.ubc.ca/~cass; 彼はしばらくの間、代数群に関連して、コンピューターに入力できるものという意味で、実際の計算を行うことに非常に興味を持っていました。上記は一例です。他の人はで見つけることができますhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html、たとえば、ジャック・ティッツによる構造定数の計算を含みます。これは、誰もが知っていることですが、ほとんどの人（少なくとも私は！）は実際に行うことから縮小します。ここでは、その方法を示す方法でレイアウトします。それを実際に実行する。