テイラー展開の使用を制限する：どの項を展開しますか？

Question

限界を確認したい $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )}$ テイラー展開を使用します。

私は次のことをしました： $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{(n-1)^2}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n-1)^n}{\left (n^2+1\right )^{\frac{n}{2}}}$$

テイラー展開を書く必要があるのはどの用語ですか？

Answer 1

私たちはそれを持っています

$$\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}=1-\frac{2n}{n^2+1}$$

次に、テイラーの展開を1次で開始できます。 $\log(1+x)$ 取得する

$$\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right )=-\frac{2n}{n^2+1}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

その後

$$\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\text{exp}\left( -\frac{n^2}{n^2+1}+O\left(\frac1{n}\right)\right)\to e^{-1}$$

この場合、一次拡張で十分です。

一般に、どの順序に拡張する必要があるかを事前に決定する方法はありませんが、ある程度の練習の後、標準的な制限に対して比較的簡単になります。

Answer 2

対数を展開します $$ \ln\left(\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right)=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right)=-\frac{2n}{n^2+1}+\ldots $$