テンソルが左随伴を持っているモノイド圏
モノイド圏の名前はありますか $(\mathscr V, \otimes, I)$ そのような $\otimes$ 左随伴作用素があります $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$？彼らはどこかで研究されましたか？いくつかの興味深い例は何ですか？
いくつかの意見：いつ $I : 1 \to \mathscr V$ 左随伴作用素があり、 $\mathscr V$はセミカルテシアンです。つまり、単位はターミナルです。いつ$\otimes$ 左随伴作用素があり、これはさらに対角線です $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$、その後 $\mathscr V$ バイナリ製品があります。
ここで定義をアンラップして、構造をより明確にします。しましょう$(\mathscr V, \otimes, I)$ モノイド圏である。 $\otimes$ 次の場合、左随伴作用素があります。
- endofunctors $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ そして $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- 射のすべてのペアに対して $f : \ell(X) \to Y$ そして $g : r(X) \to Z$、射 $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- すべての射に対して $h : X \to Y \otimes Z$、射 $h_\ell : \ell(X) \to Y$ そして $h_r : r(X) \to Z$、
そのような、すべてのために $x : X' \to X$、 $y : Y \to Y'$ そして $z : Z \to Z'$、 我々は持っています $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
回答
クリーンアップするだけです $\epsilon$Qiaochuの答えの後に残った部屋の-私たちは余分な仮説を取り除くことができます。書きます$I$ モノイドユニットと $1$ ターミナルオブジェクト用。
と仮定する $(\ell,r) \dashv \otimes$。次に、自然同型$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ 補助によって、地図を生み出す $\ell A \to I$ そして $r A \to I$、自然で $A$。ユニットマップもあります$A \to (\ell A) \otimes (r A)$、自然で $A$。テンソルと作曲、私たちは地図を手に入れます$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$、自然で $A$。つまり、ココネ（頂点付き）があります$I$）のアイデンティティファンクターについて $V$。その結果、べき等の完了で$\tilde V$ の $V$、ターミナルオブジェクトがあります（これはのリトラクトである必要があります $I$）。
さて、べき等の完了 $\tilde V$ 再びモノイド構造を持っています $\tilde \otimes$ 左随伴関手 $(\tilde \ell, \tilde r)$。したがって、QiaochuのEckmann-Hilton引数の最初の部分は、で実行できます。$\tilde V$： $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ （3番目の式では、製品は自明に存在し、4番目の式では、製品は次の理由で存在します。 $\otimes$製品を保存します）。つまり、私たちは持っている必要があります$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$。だが$I_{\tilde V}$ の画像です $I_V$ に $\tilde V$、およびべき等補完への包含は、終末オブジェクトを反映します。したがって、$V$ ターミナルオブジェクトがあり、 $1_V = I_V$。
次に、上記のコメントに見られるように、QiaochuのEckmann-Hilton引数の2番目の部分はで実行できます。 $V$： $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ （2番目の式では、製品は自明に存在し、3番目の式では、製品は次の理由で存在します。 $\otimes$製品を保存します）。つまり、バイナリ製品はに存在します$V$ に同意します $\otimes$。実際、単位元はからのoplaxモノイダル関数です$(V,\otimes)$ に $(V,\times)$、議論が示しているのは、実際には強いモノイド圏です。したがって、$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ モノイド圏として。
場合 $\otimes : V \times V \to V$ 左随伴作用素があり、 $V$ 有限の製品があります $\otimes$ 自然の地図という意味でそれらを保存します
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
同型です。エクマン-ヒルトン論のモノイド圏バージョンでは、これは次のことを意味しているように思われます。$\otimes$製品です。明示的に、$1_{\times}$ ターミナルオブジェクトを示し、 $1_{\otimes}$ モノイド単位を表すと、同型写像が得られます
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
そう $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$（そして、この同型写像が存在する場合は独特なので、自然性についてそれほど心配する必要はありません）。これで、とんでもない添え字を削除して、参照することができます。$1$。これは自然な同型を与えます
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
のために $X, Y$。実際、この議論が結合子と結合子を示しているかどうかはわかりません$\otimes$ 製品のアソシエーターとユニターと一致しますが、この議論のより精巧なバージョンはそうだと思います。
それが可能かどうかはわかりません $V$有限の製品はありません。（以前、ここではデイコンボリューションに関する議論がありましたが、ティムはコメントの中でギャップを指摘しています。）