テンソル積の検索[重複]

Question

しましょう $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

です $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$？これは本当だと思いますが、これを証明する方法がわかりません。

アイデア/ヒントを教えてください。

前もって感謝します。

Answer 1

それは誤りです。自然な地図があります

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

これは単射ですが、全射ではありません。その画像はの部分空間で構成されています$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ 分母が制限されているシーケンス、または同等に共通の分母の下に置くことができるシーケンスで構成されます（基本的には $\mathbb{Q}$ 整数シーケンス全体をいくつかの共通の分母で除算することしかできないため、たとえば、シーケンスは含まれません。 $n \mapsto \frac{1}{n}$。

（一方、これらのグループは両方ともベクトル空間であるため、抽象的に同型です。 $\mathbb{Q}$連続体次元の。基本的に同じことを言うこのmath.SEの答えを参照してください。）

一般に、テンソル積は有限積を保存することのみが保証されています。モジュールを使用したテンソル処理は、モジュールが有限に提示されている場合に限り、無限の積を保持することを示すことができます（$\mathbb{Q}$ではありません）; このmath.SEの回答を参照してください。