テンソル積のような代数をフィールドのデカルト積として表現することについて
私はこの質問をガロア理論入門コースで扱っています。
次の代数のどれがフィールドですか？体のテンソル積？これらのフィールドについて説明してください。
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
- $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
- $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
- $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $
私が言うかもしれない質問を明確にする：
$.\otimes_{A}.$ は、リングA上の2つの代数またはモジュールのテンソル積に使用される表記法です。
テンソル積は、私のコースの普遍性で定義されています。
$\mathbb{F}_2$ そして $\mathbb{F_4}$ を示す $\mathbb{Z}_2$ そして $\mathbb{Z}_4$ それぞれ。
私の進歩：
私は、どんな有限代数にも有限に多くの極大イデアルがあることを知っています。
いう $m_1,...,m_k$ 私たちの有限代数Aの極大イデアルになります。 $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ いくつかのための $n_i\in\mathbb{N}$。
したがって、 $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $の場合、Aは体のテンソル積です。
また、この問題への私の回答で以下にリンクされている私の回答文書で、私が参照したいくつかの有用な定理があります。
私はすべての詳細な回答を次のドキュメントに書きましたが、それらについてはよくわかりません（特にパート3と4について）。
グーグルドキュメントのリンクに到達するには、ここをクリックしてください。
あなたが私の答えを見た後、私は以下を追加したいと思います：
パート3では、回答で次のことを示しました。
$ \ mathbb {F} _2（\ sqrt {T}）\ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2（T）} \ mathbb {F} _2（\ sqrt {T}）\ cong \ frac {\ mathbb { F} _2（\ sqrt {T}）[U]} {（U- \ sqrt {T}）^ 2} $ここで、$ U $は変数です。したがって、$ U- \ sqrt {T} $のような冪零要素が存在するため、これはフィールドではありません。しかし、それが体のテンソル積であるかどうかを示すことはできませんか？
また、パート4では、回答で次のことを示しました。
$ \ mathbb {F} _4（\ sqrt [3] {T}）\ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4（T）} \ mathbb {F} _4（\ sqrt [3] {T}）\ cong \ frac {\ mathbb {F} _4（\ sqrt [3] {T}）[U]} {U ^ 3-T} $
しかし今、私は行き詰まり、体のテンソル積についてもう言えません。
進行につながる助けをいただければ幸いです。
回答
3の場合、あなたが言うように、テンソル積には冪零要素があります。これは、体のテンソル積では起こり得ません。私たちが持っている場合$R=F_1\times\cdots\times F_n$、体のテンソル積、および $(a_1,\ldots,a_n)^2$ はゼロです $R$ その後 $a_i^2=0$ それぞれに $F_i$ そのため $a_i=0$ （なので $F_i$フィールドです）。この例では、テンソル積は体のテンソル積ではありません。
体の拡大の場合 $F_1/F$、 $F_2/F$ 次にテンソル積 $F_1\otimes_F F_2$ 両方の場合にのみ、フィールドの積になることができます $F_1/F$ そして $F_2/F$ 分離できない拡張であり、それはまさにここに当てはまります。
しかし、ケース4では、分離可能な拡張子があります。確かに$F_1/F$ ここではクンマー拡張です $F=\Bbb F_4(T)$ 単一性の3つの立方根があります： $1$、 $\omega$ そして $\omega^2$。次に$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ 経由 $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ どこ $\sigma:F_1\to F_1$ 自己同型を取る $\sqrt[3]T$ に $\omega\sqrt[3]T$。