統合はどこで終了しますか？
積分は初めてです。私は解決します$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ しかし、私は間違った答えを得る： $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ 正解は次のとおりです。 $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ これが私の完全な試みです： $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ 私を訂正して、学ぶための情報源を教えてくれませんか？
前もって感謝します！
回答
あなたはステップまで（そしてそれを含めて）ずっと正しいです：
$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$
あなたはその事実を誤って適用しています
$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$
それがなければならないことに注意してください ${1+x^2}$-ではありません ${1+ax^2}$。代わりに、置換を行う必要があります${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ 取得するため
$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$
要求に応じ。
与えられた、 $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$
私達はことを知っています、$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$
そう、
$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ ここに、$a=1$ そして $u=\frac{x}{\sqrt3}$ そして $du=\frac{dx}{\sqrt3}$、
すなわち、 $dx={\sqrt3}du$
だから私たちの望ましい答えは、
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$
$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$
$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$
代入を積分利回りに戻す
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$
だから私たちは今残っています
$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$
これは不定積分なので、xで答えを書く必要があります。シータの置換と再配置を振り返ると、最終的な答えが得られます。
$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$
あなたの問題は最終的な平等にあります。場合$F(x)$ のプリミティブです $f(x)$、 で、もし $c\ne0$、次にのプリミティブ $f(cx)$ になります $\frac1cF(cx)$。だから、$\arctan(x)$ のプリミティブです $\frac1{1+x^2}$、のプリミティブ $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ になります $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$。
代替 $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$