統一のルーツのないクンマー拡張対応(サージ・ラング)

Jan 07 2021

私は次の問題を解決しようとしています。

しましょう $k$ 特徴的な分野である $0$。有限拡大ごとに$E$$k$、インデックス $(E^* : E^{*n})$はすべての正の整数nに対して有限です。正の整数ごとにそれを示す$n$、のアーベル拡大は有限数しか存在しません $k$ 程度の $n$

場合 $k$ 原始的なn番目の1の根が含まれている場合、次のアーベル拡大の1対1の対応を使用できます。 $k$ の指数nと部分群の $k^*$ の非ゼロ要素のn乗を含む $k$。この場合、解決する方法の1つは、この投稿の回答のとおりです。クマーのフィールドとガロア部分群の間の全単射を見つけます。

しかし、 $k$ 単一性のn番目の根を含まない場合、たとえば、アーベル拡大との間に何らかの対応がありますか? $k$ の指数mとアーベル拡大の $k(\zeta)$ 指数nの、wherece $\zeta$ 原始的なn乗根は1の根ですか?

私はのアーベル拡大が $k$ 指数nの拡張度は、拡張次数を超えない $k(\zeta)$ アーベル拡大の $k(\zeta)$ 同じセットによって生成された指数nに、 $\varphi(n)$、wherece $\varphi(n)$ オイラー関数を示します。

別の観察:仮定 $k$n番目の1の根は含まれていません。Hをのサブグループとします$k^*$ の非ゼロ要素のn乗を含む $k$、その後 $H$ そして $\zeta^j$ 一緒にのサブグループを生成します $k(\zeta)^*$ の非ゼロ要素のn乗を含む $k(\zeta)$

回答

1 J.P.Gimori Jan 09 2021 at 03:56

しましょう $L/k$ せいぜい次数のすべてのアーベル拡大の合成である $n$ 以上 $k(\zeta_n)$。以来$k$ 標数ゼロ、 $L/k$分離可能です。その後、$k(\zeta_n)$ すべてを持っています $n$-統一のルーツ、あなたはすでにそれを知っています $L/k$有限です。場合$E/k$ 度のアーベル拡大です $\leq n$、その後 $E(\zeta_n)$ のアーベル拡大です $k(\zeta_n)$ 程度の $\leq n$、したがって $E\subset E(\zeta_n) \subset L$。以来$L/k$は分離可能であり、多くても有限個のサブエクステンションが含まれています。したがって、可能なセット$E$ 有限です。