解く、次の制限

Aug 15 2020

したがって、以下は与えられた質問です:

私はそれを部分的に解決することができました、ここに私のアプローチがあります:限界は形です $(A+B)/C$ どこ $A$ そして $B$ 両方のアプローチ $e^3$ 一方 $C$ アプローチ $0$

これは単に評価することで見つけることができます $A$ そして $B$ 別々に。

これで、制限を次のように書くことができます。 $$ \lim_{t \to 0} [(1+3t+2t^2)^{1/t} - e^3]/t -\lim_{t \to 0} [(1+3t-2t^2)^{1/t} - e^3]/t $$

しかし、分子の導関数は非常に長い式であるため、少なくともLHルールを使用してこれらの2つの制限を評価することはできませんでした。この質問を解決する方法を提案してください。すべての助けに感謝します。

回答

2 enzotib Aug 15 2020 at 19:19

\begin{align} &\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{1/t}-(1+3t+2t^2)^{1/t}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{\frac{1}{3t+2t^2}\frac{3t+2t^2}{t}}-(1+3t-2t^2)^{\frac{1}{3t-2t^2}\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{\frac{3t+2t^2}{t}}-e^{\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=e^3\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{2t}-e^{-2t}\right]=\\ &\qquad=2e^3\lim_{t\to0}\left[\frac{e^{2t}-1}{2t}+\frac{e^{-2t}-1}{-2t}\right]=4e^3 \end{align}

2 ClaudeLeibovici Aug 15 2020 at 21:25

$$A=(1+3t+2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(A)=\frac 1 t \log(1+3t+2t^2)$$ $$ \log(1+3t+2t^2)=3 t-\frac{5 t^2}{2}+3 t^3-\frac{17 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(A)=3-\frac{5 t}{2}+3 t^2-\frac{17 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e^3\left(1-\frac{5 t}{2}+\frac{49 t^2}{8}-\frac{689 t^3}{48}\right)+O\left(t^4\right) $$

$$B=(1+3t-2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(B)=\frac 1 t \log(1+3t-2t^2)$$ $$ \log(1+3t-2t^2)=3 t-\frac{13 t^2}{2}+15 t^3-\frac{161 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(B)=3-\frac{13 t}{2}+15 t^2-\frac{161 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$B=e^{\log(B)}=e^3\left(1-\frac{13 t}{2}+\frac{289 t^2}{8}-\frac{8809 t^3}{48} \right)+O\left(t^4\right) $$ $$A-B=4 e^3 t-30 e^3 t^2+\frac{1015 e^3 t^3}{6}+O\left(t^4\right)$$ $$\frac{A-B}t=4 e^3 -30 e^3 t+\frac{1015 e^3 t^2}{6}+O\left(t^3\right)$$ 制限とそのアプローチ方法を示します。

1 PeterForeman Aug 15 2020 at 19:11

自然対数と指数関数でテイラーの定理を使用すると、次のようになります。 \begin{align} (1+3t+2t^2)^{1/t} &=\exp{\left(\frac{\ln{(1+3t+2t^2)}}t\right)}\\ &=\exp{\left(\frac{(3t+2t^2)-(3t+2t^2)^2/2+o(t^2)}t\right)}\\ &=\exp{\left(3-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\exp{\left(-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right) \end{align} 同様に私達は持っています $$(1+3t-2t^2)^{1/t}=e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)$$ だからあなたの限界はただ \begin{align} \lim_{t\to0}\frac{e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right)-e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)}t &=\lim_{t\to0}\frac{4e^3t+o(t)}t\\ &=\lim_{t\to0}(4e^3+o(1))\\ &=\boxed{4e^3}\\ \end{align}