特異二次形式の特別な直交群の類似体
特別な直交群 $SO(n)$ 特殊線形群のサブグループです $SL(n)$ の $n\times n$非退化対称双線形形式を保持する行列式の行列。そのような双線形形式が単位行列に関連付けられたものであると見なされる場合、$$SO(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MM^{t} = I\}$$単数対称双線形形式を保存するグループの良い説明はありますか？たとえば、$I_{k}=(a_{i,j})$ との行列になる $a_{i,i} = 1$ にとって $1\leq i\leq k$、 $a_{i,i} = 0$ にとって $k+1\leq i\leq n$、および $a_{i,j} = 0$ にとって $i\neq j$、次にグループをどのように説明できますか $$SO_{I_k}(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MI_kM^{t} = I_k\}$$ 行列式の1つの行列を保存する $I_k$？
どうもありがとうございました。
回答
はい、それは一般的に、任意のフィールド上で非常に即時です（ $0\neq 2$）。しましょう$m$ カーネルの次元になり、補足部分空間を修正します。
次に、この分解の下で、二次形式 $q$ として書く $\begin{pmatrix}q_0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$、と $q_0$非縮退。次に、直交群は$$\begin{pmatrix}\mathrm{O}(q_0) & 0\\ \mathrm{Mat}_{m,n-m} & \mathrm{GL}_m\end{pmatrix}.$$ 特に、 $\mathrm{SO}(q)$ 行列式の行列で構成されます $1$つまり、対角ブロックには両方の行列式があります $1$ または両方 $-1$ （後者は、両方のブロックがゼロ以外の場合に可能です。 $q\neq 0$ そして $q$ 縮退しています：この場合、 $\mathrm{SO}(q)$ 代数群として2つの要素がありますが、 $q=0$ または $q$ 非縮退、単一のコンポーネントがあります）。
交互の形式、直交群についても同様の説明があります $\mathrm{O}(q_0)$シンプレクティックグループに置き換えられます。シンプレクティック群はすでに決定的である$1$、次に、交互形式の行列式1グループがすべての場合に接続されます。
説明の他の結果：また、単能ラジカル（$\mathrm{Mat}_{n,m-n}$）の $\mathrm{SO}(q)$派生サブグループに含まれています。接続されたコンポーネントの派生サブグループにあります$\mathrm{SO}(q)^\circ$ そうでなければ $(n-m,m)=(1,1)$。また、$\min(n-m,m)\ge 2$、 $\mathrm{SO}(q)^\circ$ 完璧です。