特定の条件での右半平面上の正則関数の分類
次の問題は、古い複雑な分析の予備試験に起因します。
すべての分析関数を決定する $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ 半平面上 $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ 満足する $f(\sqrt{n}) = n$ そして $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ すべての正の整数 $n$。
明らかに $f(z) = z^2$これを満たし、これが唯一の例であることを示したいと思います。ご了承ください$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ の導関数の限界を満たさない $\epsilon > 0$。さらに、導関数の限界は、そのような$f$ は分析的で、次数1で指数関数的ではありません。カールソンの定理を適用して、次のことを示すことができます。 $h(z): =f(z) - z^2$ は正確にゼロですが、これは予備的な問題に使用するには非常に重いハンマーのようです。
より簡単な証明に関するガイダンスをいただければ幸いです。
回答
しましょう $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; 以来$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ 私たちはそれを得る $g$ もともと定義された $\Re z >-1$ を満たす関数全体に拡張します $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$。
仮定する $g$ ゼロ以外および $k \ge 1$ のゼロの次数 $g$ で $0$。その後、$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ 番号 $N(R) \ge [R^2]$ の零点の $g$ と $|z|\le R$ 満たす（ジェンセンの定理による）：
$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$
だから簡単なメジャー化によって $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$、次のようになります。
$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ 一定の定数 $M$ からのLHSの積分を組み込んでいます $0$ 言う $10$ そして $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$、だから私たちは大規模な矛盾を取得します $R$