特定のプロパティを持つ合計による多項式の境界

Question

定義する $f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ 沿って $f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$。

質問：連続関数は存在しますか$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$、満足

1. $g(x,y)=0$ 場合に限り $xy=1$。
2. $h(x,y)=0$ 場合に限り $x=y$。
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$。

コメント：動機は事件から来ています$x,y$ の特異値として解釈されます $2 \times 2$マトリックス。その後、$f(x,y)$ からの行列の距離です $\operatorname{SO}(2)$。 $g$ そして $h$ は、それぞれ面積保存および共形からの行列の偏差の尺度として解釈されます。

Answer 1

しましょう $z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$。その後、$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$。

設定しました $G(z) = z^2 - 2i$。その後、$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$。

計算 $\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$ したがって $$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$ 場合に限り $\Re z + \Im z \ge 0$、これは確かに真実です $x \ge 0, \, y \ge 0$。

したがって、あなたは今持っています $x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$ そして、あなたは読み上げることができます $g$ そして $h$。